增广理想

代数中，增广理想是可以在任何群环中定义的一种理想。若G是群，R是交换环，则有一个自群环R[G]至R的环同态${\displaystyle \varepsilon }$，称为增广映射，将R[G]的元素

${\displaystyle \sum r_{i}g_{i}}$

映射至

${\displaystyle \sum r_{i}}$

其中r_i是R的元素，g_i是G的元素。按照群环的定义，以上的和是有限和。较笼统而言，对G任何元素g，定义

${\displaystyle \varepsilon (g)}$

为1_R，再将${\displaystyle \varepsilon }$以最显然的方法延伸成R-模的同态。增广理想是${\displaystyle \varepsilon }$的核，因此是R[G]的双边理想，由群元素的差

${\displaystyle g-g'}$

生成。

此外，增广理想是自由R-模，可用

${\displaystyle g-1,g\in G}$

为其基底而生成。

对上述的R和G，群环R[G]是增广R-代数的一例。这样的代数都带有一个映至R上的环同态。这个环同态的核是这个代数的增广理想。

增广理想的另一类例子是任何霍普夫代数的余单位元${\displaystyle \varepsilon }$的核。

增广理想是群上同调等应用中的基本工具。