不定式 (数学)此条目没有列出任何参考或来源。 (2020年5月3日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。此条目目前正依照en:Indeterminate form上的内容进行翻译。 (2017年12月23日)如果您擅长翻译，并清楚本条目的领域，欢迎协助翻译、改善或校对本条目。此外，长期闲置、未翻译或影响阅读的内容可能会被移除。 在微积分和数学分析的其他分支中，不定式（英语：Indeterminate form），又称未定式，是指这样一类极限，其在按极限的运算规则进行代入后，还未能得到足够信息去确定极限值。 这个术语最初由柯西的学生穆瓦尼奥（法语：Abbé Moigno）在19世纪中叶提出。常见的不定式有： 0 0 , ∞ ∞ , 0 × ∞ , 1 ∞ , ∞ − ∞ , 0 0 和 ∞ 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~1^{\infty },~\infty -\infty ,~0^{0}{\text{ 和 }}~\infty ^{0}} 。 处理计算未定式的值常见的方法为使用洛必达法则。 例子 0除以0 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} 是不定式。 0的0次方 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 也是不定式。在不同软件中，有不同的处理规则，有些定义为1或0，有些视为“没有定义”。 在数学上，当 x {\displaystyle x} 趋向 0 + {\displaystyle 0^{+}} ， x x {\displaystyle x^{x}} 的极限是1。 lim x → 0 + 0 x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0\qquad } lim x → 0 + x 0 = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1\qquad } lim x → 0 + x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1\qquad } 在幂级数和微积分中，有时候必须定义 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} ，等式才会成立。 在二项式定理中，当 x = 0 {\displaystyle x=0} ，右式会出现 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 。 ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}} 微分学的幂法则（英语：Power rule），在 n = 1 {\displaystyle n=1} 及 x = 0 {\displaystyle x=0} 的情况下，也会出现 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 。 d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}} 物理 在物理学上这是有一定的解释。比如说电阻定义 R = V I {\displaystyle R={\frac {V}{I}}} ，当电压和电流都为 0 {\displaystyle 0} 时 R {\displaystyle R} 的值（英语：Value (mathematics)）存在不确定性。 例如，极限 lim x → c f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}} f ( c ) = g ( c ) = 0 {\displaystyle f(c)=g(c)=0\,} 。若 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} 等于 g ( x ) {\displaystyle g(x)\,} ，极限为1；若 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} 等于 g ( x ) {\displaystyle g(x)\,} 的两倍，则极限为2。更一般地， 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} 的极限可以通过洛必达法则求得。 不定式列表 下表中列出了最常见的不定式，可以通过变换来使得它们满足洛必达法则的条件。 不定式 条件 变换到0/0 变换到∞/∞ 0 / 0 {\displaystyle 0/0} lim x → c f ( x ) = 0 , lim x → c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!} — lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c 1 / g ( x ) 1 / f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!} ∞ / ∞ {\displaystyle \infty /\infty } lim x → c f ( x ) = ∞ , lim x → c g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c 1 / g ( x ) 1 / f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!} — 0 ⋅ ∞ {\displaystyle 0\cdot \infty } lim x → c f ( x ) = 0 , lim x → c g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c g ( x ) 1 / f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!} ∞ − ∞ {\displaystyle \infty -\infty } lim x → c f ( x ) = ∞ , lim x → c g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x → c ( f ( x ) − g ( x ) ) = lim x → c 1 / g ( x ) − 1 / f ( x ) 1 / ( f ( x ) g ( x ) ) {\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!} lim x → c ( f ( x ) − g ( x ) ) = ln lim x → c e f ( x ) e g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!} 0 0 {\displaystyle 0^{0}} lim x → c f ( x ) = 0 + , lim x → c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c g ( x ) 1 / ln f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c ln f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!} 1 ∞ {\displaystyle 1^{\infty }} lim x → c f ( x ) = 1 , lim x → c g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c ln f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c g ( x ) 1 / ln f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} ∞ 0 {\displaystyle \infty ^{0}} lim x → c f ( x ) = ∞ , lim x → c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c g ( x ) 1 / ln f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c ln f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
