相平面

相平面（phase plane）是在应用数学（特别是非线性系统）中，视觉化的展示特定微分方程特征的方式。相平面是一个由二个状态变数为座标轴组成的平面，例如说(x, y)或(q, p)等。相平面是多维度相空间在二维空间中的例子。

相平面法（phase plane method）是指用绘图的方式，来确认微分方程的解中是否存在极限环。

微分方程的解可以形成函数族。用绘图的方式，可以画在二维的相平面上，类似二维的向量场。向量会表示某一点对应特定参数（例如时间）的导数，也就是(dx/dt, dy/dt)，会绘制在对应的点上，以箭头表示。若有够多的点，就可以分析此区域内的系统行为，若有极限环，也可以识别出来。

整个场即可形成相图，在流线上的特定路径（一个永远和向量相切的路径）即为相路径（phase path）。向量场上的相表示微分方程所说明的系统随时间的演化。

相平面可以用来解析物理系统的行为，特别是振荡系统，例如猎食者-猎物模型（英语：predator-prey model）（可参考洛特卡－沃尔泰拉方程）。这些模型中的相路径可能是向内旋转，慢慢趋近0，也可能是向外旋转，慢慢趋近无限大，或是接近中性的平衡位置，此情形称为centre，路径可能是圆形、椭圆或是其他形状。在判断其系统是否稳定时很有用^[1]。

另一个振荡系统的例子是一些多步的化学反应，其中有些会有化学平衡，不是完全反应。此情形下可以将反应物及生成物浓度（或质量）的变化利用微分方程来建模，可以对其化学动力学有更清楚的了解^[2]。

线性系统的例子

二维的线性微分方程系统可以写成以下的形式^[1]：

{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=Ax+By\\{\frac {dy}{dt}}&=Cx+Dy\end{aligned}}

可以整理为矩阵方程式：

{\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}\\&{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {A} \mathbf {x} .\end{aligned}}

其中A是2 × 2的系数矩阵（英语：coefficient matrix），而x = (x, y)是二个自变量组成的座标向量（英语：coordinate vector）。

此系统可以解析求解，例如积分下式^[3]：

${\frac {dy}{dx}}={\frac {Cx+Dy}{Ax+By}}$

不过此解是x和y的隐函数，也不容易诠释^[1]。

用特征值求解

上述方程常见的解法是用右边矩阵型式的系数，利用特征值 $\lambda$ 求解，利用以下的行列式求得：

\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0

以及以下的特征向量

\mathbf {A} \mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}

特征值表示指数项的幂次，而特征向量为其系数。若将解写成代数型式，可以表示为几个指数项配合对应系数的和。因为特征向量的唯一性，每一个此方式得到的解会有待确定的系数c₁, c₂, ... c_n.

通解为：

x={\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\end{bmatrix}}c_{1}e^{\lambda _{1}t}+{\begin{bmatrix}k_{3}\\k_{4}\end{bmatrix}}c_{2}e^{\lambda _{2}t}.

其中λ₁和λ₂是特征值，而(k₁, k₂), (k₃, k₄)是基础特征向量。系数c₁和c₂和特征向量的唯一性有关，只有在初始条件已知时才能求解。

上述行列式可以得到以下的特征多项式：

\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +(AD-BC)=0

是以下型式的一元二次方程：

\lambda ^{2}-p\lambda +q=0

其中;

p=A+D=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\,,

（"tr"表示矩阵的迹）以及

q=AD-BC=\det(\mathbf {A} )\,.

特征值的显式解可以由求得二次方程而得：

\lambda ={\frac {1}{2}}(p\pm {\sqrt {\Delta }})\,

其中

\Delta =p^{2}-4q\,.

特征向量及节点

特征向量及节点会决定相路径的轮廓，可以用图像来描绘动态系统的解，如下所述：

线性自治系统平衡点的分类^[1]。若是非线性自治系统，进行线性化近似后也会有类似的分类

要画相平面时，会先画对应二个特征向量的直线（表示系统既不趋近直线，也不远离直线的稳定条件）。之后相平面就会用有箭头的实线代替有向量场上每点的箭头。特征值的正负号会影响的相平面的特点：

若二个符号一正一负，特征向量的交点为鞍点。
若二个符号都为正，表示系统会远离特征向量，交点是不稳定节点。
若二个符号都为负，表示系统会趋向特征向量，交点是稳定节点。

以上说明可以用微分方程解中指数解的行为来理解。

重复的特征值

若是二个特征值为相同的实数，会需要透过一个未知的向量以及第一个特征向量来求解系数矩阵，产生第二个解。不过若系统对应，也可以用正交的特征向量来产生第二个解。

有虚部的特征值

有虚部的复数特征值，表示其解包括有[正弦]]及余弦函数（可以表示为幂次为复数的次数）。此情形比较简单，只需要一个特征值以及一个特征向量就可以产生系统的完整解。

参考资料

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 D.W. Jordan; P. Smith. Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers 4th. Oxford University Press. 2007. ISBN 978-0-19-920825-8.
^ K.T. Alligood; T.D. Sauer; J.A. Yorke. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. Springer. 1996. ISBN 978-0-38794-677-1.
^ W.E. Boyce; R.C. Diprima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 4th. John Wiley & Sons. 1986. ISBN 0-471-83824-1.

外部链接

Lamar University, Online Math Notes - Phase Plane, P. Dawkins （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Lamar University, Online Math Notes - Systems of Differential Equations, P. Dawkins （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Overview of the phase plane method

[Jordan,_Smith-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 D.W. Jordan; P. Smith. Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers 4th. Oxford University Press. 2007. ISBN 978-0-19-920825-8.

[2] K.T. Alligood; T.D. Sauer; J.A. Yorke. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. Springer. 1996. ISBN 978-0-38794-677-1.

[3] W.E. Boyce; R.C. Diprima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 4th. John Wiley & Sons. 1986. ISBN 0-471-83824-1.

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[2]

[3]

相平面

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