半正矢公式

对于任何球面上的两点，圆心角的半正矢值可以通过如下公式计算：

${\displaystyle \operatorname {hav} \left({\frac {d}{r}}\right)=\operatorname {hav} (\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\operatorname {hav} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}$ 

• ${\displaystyle \operatorname {hav} }$  是半正矢函数的缩写：

${\displaystyle \operatorname {hav} (\theta )=\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}}$ 

• ${\displaystyle d}$  是两点之间的距离（沿大圆，见球面距离）；
• ${\displaystyle r}$  是球的半径；
• ${\displaystyle \varphi _{1}\varphi _{2}}$  ：点 1 的纬度和点 2 的纬度，以弧度制度量；
• ${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}}$  ：点 1 的经度和点 2 的经度，以弧度制度量。

左边的等号 ${\displaystyle {\frac {d}{r}}}$  是圆心角，以弧度来度量。

可以通过应用反半正矢函数（如果可以查到值）或通过使用反正弦函数来解出 ${\displaystyle d}$  ：

${\displaystyle d=r\operatorname {archav} (h)=2r\arcsin \left({\sqrt {h}}\right)}$ 

${\displaystyle h=\operatorname {hav} {\frac {d}{r}}}$  ，代入可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}d&=2r\arcsin \left({\sqrt {\operatorname {hav} (\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\operatorname {hav} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\sin ^{2}\left({\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{2}}\right)}}\right)\end{aligned}}}$ 

在使用这个公式时，必须确保 ${\displaystyle h}$  不超过 1 （ ${\displaystyle d}$  只当 ${\displaystyle h}$  的值在 0 到 1 间才有意义）。${\displaystyle h}$  仅在球面上两点连线过球心时才为 1 ，当测量精度有限时，会产生较大的计算误差。 ${\displaystyle d}$  如果大到接近圆周的一半长度 ${\displaystyle \pi R}$  时（这个情况并不常见），一个小错误通常是一个大问题在。虽然还有其他的大圆距离公式，能够避免这个问题。上述公式有时候用反正切函数表达，但是 ${\displaystyle h}$  接近 1 时这个问题仍然存在。

但是仍有对策来避免上述问题。类似的公式可以使用余弦函数表达（有时亦称为球面余弦定理，但是并非平面余弦定理）而不是半正矢，但如果这两点十分靠近（例如在地球上的一公里外）你可能得到的结果为 ${\displaystyle \cos {\frac {d}{r}}=0.99999999}$ ，导致一系列的误差。而由于半正矢式使用正弦函数，避免了这一问题。所以两个公式应该互补使用。

因为地球是一个不完美的球体，故当其应用于地球时，无论哪一个公式只是做一个近似测算，“地球半径” ${\displaystyle R}$  在极点地区是 ${\displaystyle 6356.752}$  公里，在赤道地区为 ${\displaystyle 6378.137}$  公里。另外，半径曲率在极点处（${\displaystyle \approx 6399.594}$  公里）比在赤道处(${\displaystyle \approx 6335.439}$  公里)大 1% ，所以半正矢公式或者球面余弦定理是不能保证 0.5% 以内的误差。更准确的方法，应该是使用考虑地球离心率的Vincenty的公式或其他有关地理距离的论文所给出方法。

给出一个单位球，一个在表面的球面三角形三个过三点 ${\displaystyle (u,v,w)}$  的大圆所围出来的区域。如图，这个球面三角形的三边分别是 ${\displaystyle a}$ （${\displaystyle \mathbf {u} }$  至 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ）， ${\displaystyle b}$  （${\displaystyle \mathbf {u} }$  到 ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ）和 ${\displaystyle c}$  （${\displaystyle \mathbf {v} }$  至 ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ）并且角 ${\displaystyle C}$  对边 ${\displaystyle c}$  那么有如下关系

${\displaystyle \operatorname {hav} (c)=\operatorname {hav} (a-b)+\sin(a)\sin(b)\operatorname {hav} (C)}$ ^[6]

由于这是一个单位球，弧长 ${\displaystyle a}$ 、 ${\displaystyle b}$  和 ${\displaystyle c}$  与两端点同球心构成的圆心角（弧度制）相等。

为了从该定理中得到半正矢公式，只需要考虑一种特殊情况，即 ${\displaystyle \mathbf {u} }$  是北极，而 ${\displaystyle \mathbf {v} }$  和 ${\displaystyle \mathbf {w} }$  是需要确定距离 ${\displaystyle \mathbf {d} }$  两个点。在这个情况下， ${\displaystyle a}$  和 ${\displaystyle b}$  由 ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\varphi _{1,2}}$  来计算（即 90° - 维度）， ${\displaystyle C}$  为经度分隔 ${\displaystyle \Delta \lambda }$  和 ${\displaystyle c}$  为求得的${\displaystyle {\frac {d}{R}}}$ 。结合 ${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi \right)=\cos(\varphi )}$ ，半正矢公式即可推导得出。

或者可以从球面余弦定理中得出

${\displaystyle \cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C)}$ ${\displaystyle }$

当 ${\displaystyle c}$  很小时，这个公式精度不高。所以我们可以用 ${\displaystyle \cos(\theta )=1-2\operatorname {\operatorname {hav} } (\theta )}$  来替换 ，并引用三角恒等式 ${\displaystyle \cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)}$ ，半正矢定理就能推出。

• 视觉算法（英语：sight reduction）

1. ^ van Brummelen, Glen Robert. Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press. 2013 [2015-11-10]. ISBN 9780691148922. 0691148929. 
2. ^ de Mendoza y Ríos, Joseph. Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplication de su teórica á la solucion de otros problemas de navegacion. Madrid, Spain: Imprenta Real. 1795 [2018-08-14]. （原始内容存档于2017-11-07） （西班牙语）. 
3. ^ Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations 2 2 (3rd corrected printing of 1929 issue). Chicago, USA: Open court publishing company. 1952: 172 [1929] [2015-11-11]. ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147. The haversine first appears in the tables of logarithmic versines of José de Mendoza y Rios (Madrid, 1801, also 1805, 1809), and later in a treatise on navigation of James Inman (1821). 
4. ^ Inman, James. Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen 3. London, UK: W. Woodward, C. & J. Rivington. 1835 [1821] [2015-11-09]. （原始内容存档于2016-12-28）. 
5. ^ Template:OED2
6. ^ Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. Appendix B: B9. Plane and Spherical Trigonometry: Formulas Expressed in Terms of the Haversine Function. Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulas for reference and review 3. Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc. 2000: 892–893 [1922]. ISBN 978-0-486-41147-7. 

• 美国人口普查局的 地理信息系统的问题(内容已被转移到 什么是最好的方式来计算两点间的距离?（页面存档备份，存于互联网档案馆）)
• R.W.Sinnott的"半正矢的优点", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
• 推导半正矢公式（页面存档备份，存于互联网档案馆），Ask Dr.Math(Apr. 20–21,1999)。
• Romuald Ireneus'Scibor-Marchocki, 球三角形， 初等几何(1997年)。
• W.Gellert,S.Gottwald,M.Hellwich，H.Kästner和H.Küstner的,The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics,2nd ed., ch. 12(Van Nostrand Reinhold：纽约，1989年)。

• 用的91种编程语言rosettacode.org实现半正矢公式（页面存档备份，存于互联网档案馆） 或 17种编程语言codecodex.com（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 其它在 C++（页面存档备份，存于互联网档案馆）、C(mac os)（页面存档备份，存于互联网档案馆）、Pascal（页面存档备份，存于互联网档案馆）、Python、Ruby （页面存档备份，存于互联网档案馆）、JavaScript（页面存档备份，存于互联网档案馆）、PHP（页面存档备份，存于互联网档案馆）、Matlab（页面存档备份，存于互联网档案馆）、MySQL中的实现。
• 由任何两者之间的纬度和经度计算距离、方位等。http://www.movable-type.co.uk（页面存档备份，存于互联网档案馆）