球面三角学

在球壳的表面，最短的距离是大圆上接近直线的弧线，也就是圆弧的圆心与球壳的球心是同一点。例如：地球上的子午线和赤道都是大圆。所谓行星表面的直线，就是球面上两点之间最近距离的大圆弧线（如果把自己拘束在球面上的直线上）。

在球面上，由大圆的弧所包围的区域称为球面多边形，但要注意，不同于平面上的情形，在球面上二角形是可能存在的。（两个弧夹出两个角的三角形类似物）

这些多边形的边长(弧长)，可以利用球心角很方便的来测定，将弧的两端所对应的球心角乘上半径便是边长。要注意的是，这些角都必须用弪度量来量度。.

因此，对一个球面三角形而言，是由他的弧长与球心角来具体描述的，只是弧的长度是用弪度量来标示。

值得注意的是，球面三角形的三个内角的和总是大于180°，但在平面上只有180°。超过180°的数值称为球面剩余 E：E = α + β + γ - 180°，这些结余给出了球面三角形的面积。确定这个值，球面剩余必须以弪度量来测定，表面积A依据球面的半径和球面剩余来测量：

A = R² · E

这是高斯-博内定理，这很明显的显示没有相似的球面三角形(三角形有相同的角，但邊長和面積不同)。而在特殊的情况下，球的半径为1，则球面三角形的面积A = E。

要解球面几何的问题，要点是能剖析出其中的直角三角形(三个角中有一个是90°)，因为这样就可以利用纳皮尔的多边形求解。

利用纳皮尔多边形(也称为纳皮尔圆周)的口诀可以很轻易的记住球面直角三角形的所有关联性： 以他们出现于球面三角形的顺序，依照相邻的边角关系，依序将三角形的六个角写在一个圈子内，也就是开始以一个角度开始，然后在它旁边写上相邻的边的弧角度，继续再写下下一个角度，···，最后结束成一个圆。然后删除90°的角角度并且将它相邻的弧角度替换成他们补角的数值(与原角弧度之和为90°) (也就是将 a 换成 90° − a)。 现在，这五个数组成了我们需要的纳皮尔多边形(纳皮尔圆周)，从这儿，可以得到每个角度的余弦值等于：

• 相邻两角度的余切的乘积
• 相对两角度的正弦的乘积

可以参考半正矢(Haversine formula)，能在球面三角上解析弧长与角度，为航海学提供了稳定的模式。

余弦定理

余弦定理是球面三角学的基本恒等式，球面三角学中的其他恒等式都可以由余弦定理导出。

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\!}$ 

${\displaystyle \cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\!}$ 

${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,\!}$ 

当三角形的边长远小于球面半径时，该公式与平面三角的余弦定理近似相等。

正弦公式

球面上的正弦定理可表示为：

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$ 

当三角形的边长远小于球面半径时，该公式与平面三角的正弦定理近似相等。

更详尽的公式列表可以点选：此处（页面存档备份，存于互联网档案馆）

• 球面几何学
• 球面距离
• 大地测量学

• 《基础几何学》：球面几何和球面三角学（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Wolfram's mathworld: Spherical Trigonometry（页面存档备份，存于互联网档案馆） 更多的公式列表与一些推导
• Wolfram's mathworld: Spherical Triangle（页面存档备份，存于互联网档案馆） nice applet
• Spherical Trigonometry — for the use of colleges and schools by I. Todhunter, M.A., F.R.S. Historical Math Monograph posted by Cornell University Library.
• 关于偏差平面和简单平面的说明书（页面存档备份，存于互联网档案馆） 是阿拉伯语的历史可以追溯到1740年谈球面三角学，图的手稿。