A公理

在数学中,斯梅尔A公理(Smale's axiom A)确定了一类相对容易理解的动力系统。一个著名的例子是斯梅尔马蹄铁映射。术语“A公理”是斯蒂芬·斯梅尔起的。

定义

设M是光滑流形 是M到自身的微分同胚。以下两个条件合在一起称为A公理:

  1.  非游荡集 双曲紧集
  2.  周期点 稠密

满足A公理的微分同胚称为A公理微分同胚。若M是二维曲面,则非游荡集的双曲性蕴含了周期点的稠密性,但对三维以上的流形则不成立。尽管如此,A公理微分同胚有时仍被称作双曲微分同胚,因为M上发生有趣的动力学的部分,即 ,表现出双曲的行为。

A公理微分同胚是莫尔斯-斯梅尔系统的推广,后者有更多的限制(有限的周期点,稳定、不稳定子流形的横截性)。斯梅尔马蹄铁映射是具有无限周期点和正的拓扑熵的A公理微分同胚。

性质

所有阿诺索夫微分同胚都满足A公理。对于这种情况,整个流形M就是双曲的(尽管还不知道非游荡集 是否构成了整个M)。

Rufus Bowen证明了A公理微分同胚的非游荡集 都有马尔可夫划分

非游荡集中的周期点的稠密性蕴含了局部极大性:存在 的开邻域U使得

 

ω稳定性

A公理系统有一个重要的性质:对微小扰动的结构稳定性。就是说,对系统施加一个微小的扰动,扰动后的系统与未扰动的系统之间有一对一的拓扑对应,把扰动后系统的轨道变成未扰动系统的轨道。这个性质的重要性在于,它表明了A公理系统不是特例,在某种意义上是“普遍的”。

更精确地说,对 的连续可微的扰动 ,非游荡集由两个紧致的 -不变子集 组成。第一个子集同胚于 ,同胚映射h满足:

 

 是空集,则h是到 上的满射。若对任意扰动 都是这种情况则称f是ω稳定的。微分同胚 是ω稳定的当且仅当 满足A公理与无环条件(轨道一旦离开某个不变子集就不再返回这个子集)。

参考资料

  • Abraham and Marsden, Foundations of Mechanics (1978) Benjamin/Cummings Publishing, see Section 7.5
  • Ruelle, David (1978). Thermodynamic formalism. The mathematical structures of classical equilibrium. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 5. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13504-3. Zbl 0401.28016.
  • Ruelle, David (1989). Chaotic evolution and strange attractors. The statistical analysis of time series for deterministic nonlinear systems. Lezioni Lincee. Notes prepared by Stefano Isola. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36830-8. Zbl 0683.58001.