阿诺索夫微分同胚

有三个相互联系但又有区别的定义：

• 若M上的可微映射f在切丛上有双曲结构，则称f是一个阿诺索夫映射。例子有伯努利映射，以及阿诺尔德猫映射。
• 若这个映射还是一个微分同胚，则称为阿诺索夫微分同胚。
• 若流形上的一个流把切丛分成三个不变子丛，其中一个子丛呈指数衰减，一个指数增大，第三个不增大也不减小，则这个流称为阿诺索夫流。

阿诺索夫证明了阿诺索夫微分同胚是结构稳定的，并且组成了全体映射（流）的开子集（${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 拓扑）。

并非每个流形上都可以有阿诺索夫微分同胚；例如，球面上就没有这样的微分同胚。容许有阿诺索夫微分同胚的最简单的紧流形是环面：上面有所谓的线性阿诺索夫微分同胚，这是没有模1特征值的同构。可以证明环面上其他的阿诺索夫微分同胚都与这种同胚拓扑共轭。

对容许有阿诺索夫微分同胚的流形进行分类是非常困难的问题，截至2012年仍然没有解决。

另外，也不清楚是否每个${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 且保持体积的阿诺索夫微分同胚都是遍历的。阿诺索夫证明了把${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 换成${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ 的条件下是成立的。

负曲率黎曼曲面的切丛上的阿诺索夫流。这个流可以理解为双曲几何的庞加莱半平面模型的切丛上的流。负曲率黎曼曲面可以用福克斯模型来定义，即上半平面与福克斯群的商。设${\displaystyle \mathbb {H} }$ 为上半平面，${\displaystyle \Gamma }$ 为福克斯群，${\displaystyle M=\mathbb {H} /\Gamma }$ 为负曲率黎曼曲面，${\displaystyle T^{1}M}$ 为流形M上的单位向量的切丛，${\displaystyle T^{1}\mathbb {H} }$ 是${\displaystyle \mathbb {H} }$ 的单位向量的切丛。注意曲面上单位向量的丛是复直线丛的主丛。

李向量场

注意${\displaystyle T^{1}\mathbb {H} }$ 同构于李群${\displaystyle {\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )}$ 。这个群是上半平面的保向等距同构组成的群。${\displaystyle {\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )}$ 的李代数是${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ，由以下矩阵表示

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle [J,X]=X,\quad [J,Y]=-Y,\quad [X,Y]=2J}$ 

指数映射

${\displaystyle g_{t}=\exp {tJ}={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\end{pmatrix}}\quad h_{t}^{*}=\exp {tX}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}\quad h_{t}=\exp {tY}={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}}$ 

定义了流形${\displaystyle T^{1}\mathbb {H} ={\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )}$ 上的右不变流，而${\displaystyle T^{1}M}$ 与此类似。定义${\displaystyle P=T^{1}\mathbb {H} ,Q=T^{1}M}$ ，这些流定义了P和Q上的向量场。

阿诺索夫流

${\displaystyle g_{t}}$ 是P和Q上的测地流。根据定义李向量场在群元素的作用下是左不变的，可以得到这些场在${\displaystyle g_{t}}$ 下是左不变的。换句话说，空间${\displaystyle TP}$ 和${\displaystyle TQ}$ 分成了三个一维空间，或子丛，每一个都在测地流作用下不变。最后注意到其中一个子丛的向量场呈指数扩大，另一个不变，第三个呈指数缩小。

精确地说，切丛${\displaystyle TQ}$ 可以写成直和

${\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}}$ 

这些空间在测地流的作用下不变；即，在群元素${\displaystyle g=g_{t}}$ 的作用下不变。

要比较不同点q处${\displaystyle T_{q}Q}$ 的向量的长度，需要有度量。${\displaystyle T_{e}P={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ 上的任何内积都可扩张成P上的左不变黎曼度量，进而得到Q上的黎曼度量。向量${\displaystyle v\in E_{q}^{+}}$ 的长度在${\displaystyle g_{t}}$ 的作用下指数增大。向量${\displaystyle v\in E_{q}^{-}}$ 的长度在${\displaystyle g_{t}}$ 的作用下指数衰减。${\displaystyle E_{q}^{0}}$ 中的向量不变。测地流是不变的

${\displaystyle g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}}$ 

但另外两个分别是衰减和增大的：

${\displaystyle g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp {(-s)}}^{*}g_{s}}$ 

${\displaystyle g_{t}h_{t}=h_{t\exp {s}}g_{s}}$ 

其中${\displaystyle E_{q}^{+}}$ 中的切向量由曲线${\displaystyle h_{t}}$ 在${\displaystyle t=0}$ 处的导数给出。

阿诺索夫流的几何解释

当作用在上半平面的点${\displaystyle z=i}$ 时，${\displaystyle g_{t}}$ 对应了上半平面的一条过点${\displaystyle z=i}$ 的测地线。这个作用就是${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$ 在上半平面的标准莫比乌斯变换，所以

${\displaystyle g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp {(t/2)}&0\\0&\exp {(-t/2)}\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp {t}}$ 

一般的测地线

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp {t}={\frac {ai\exp {t}+b}{ci\exp {t}+d}}}$ 

式中${\displaystyle a,b,c,d}$ 是实数，且${\displaystyle ad-bc=1}$ 。曲线${\displaystyle h_{t}^{*}}$ 与${\displaystyle h_{t}}$ 称为极限圆。极限圆对应于极限球面的法向量在上半平面的运动。

• 莫尔斯-斯梅尔系统
• 伪阿诺索夫映射

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Y-system,U-system, C-system （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature, (1991), appearing as Chapter 3 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Provides an expository introduction to the Anosov flow on SL(2,R).)
• This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
• Toshikazu Sunada(砂田 利一), Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.