度规函数

凸性

度规函数符合次加性，因此是凸函数。

只取有限值的条件

包含${\displaystyle 0}$ 的凸集${\displaystyle C}$ 的度规函数不取${\displaystyle +\infty }$ ，当且仅当${\displaystyle C}$ 是吸收的。

同样地可立刻看出这条件当${\displaystyle 0}$ 是${\displaystyle C}$ 的内点时成立。易证逆命题在有限维时成立：简洁做法是看到${\displaystyle p}$ 既是有限值和处处定义的凸函数，因而${\displaystyle p}$ 连续，故此${\displaystyle \{x\,\mid \,p(x)<1\}}$ 包含在${\displaystyle C}$ 内且是${\displaystyle 0}$ 的邻域。

当${\displaystyle 0}$ 是在${\displaystyle C}$ 的内部时，可以想像这样一幅图画：函数取值1的点正好是凸集${\displaystyle C}$ 的边界，其他正数值的水平面是其位似形。如果有不在任一个水平面上的点，函数在该点取值为${\displaystyle 0}$ 。

最后再补充一点。在实向量空间时，${\displaystyle C}$ 相对${\displaystyle 0}$ 点对称，其度规函数避开${\displaystyle +\infty }$ 值，这度规函数便是半范数；在复向量空间也有同样结论，只需把对称的定义，修改为与任何模为1的复数相乘都不变。

原点外不取0值的条件

从定义看出度规函数在原点外一点${\displaystyle x_{0}}$ 取 ${\displaystyle 0}$ 值，当且仅当从原点过${\displaystyle x_{0}}$ 的射线包含在凸集内。

因此立刻可知在赋范向量空间内，有界凸集的度规函数不在原点外取 ${\displaystyle 0}$ 值。

逆命题对有限维空间内的闭凸集成立，用半径为1的球面的紧致性证明。

设${\displaystyle C}$ 为在有限维空间内包含${\displaystyle 0}$ 的闭凸集。${\displaystyle C}$ 有界当且仅当其度规函数除原点外不取${\displaystyle 0}$ 值。

• 在拓扑向量空间理论，引入一族适合的度规函数，便能够以半范数描绘局部凸空间的特性。

• 在凸集的几何中，度规函数是有用的工具，能把纯几何问题（研究超平面），转变成纯分析问题（研究超平面的方程）。在凸集分离和支撑超平面理论的一个基础结果，就是哈恩-巴拿赫定理的几何形式，其中的证明关键，在观察到对适合方程${\displaystyle f(x)=1}${\displaystyle f(x)=1}  的超平面，要求超平面避开给定包含原点的开凸集，与要求函数${\displaystyle f}$ 和凸集的度规函数${\displaystyle p}$ 适合不定方程${\displaystyle p\leq f}$ 是相同的。

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty and Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001, ISBN 3540422056, p. 128-130