维格纳半圆分布

第二种切比雪夫多项式(Chebyshev Polynomial)是此分布的正交多项式 (Orthogonal Polynomial) 。对于正整数n，此分布之第2n项动差(Moment)为：

${\displaystyle E(X^{2n})=\left({R \over 2}\right)^{2n}C_{n}\,}$ 

此处 X是一随机变数，而C_n是第n项 卡塔兰数(Catalan number)：

${\displaystyle C_{n}={1 \over n+1}{2n \choose n},\,}$ 

因此若R=2，此分布之动差为卡塔兰数。

(因为对称性的关系，所有奇数项之动差皆为0)

若以 ${\displaystyle x=R\cos(\theta )}$  替代式子动差生成函数(Moment generating Function)内的x，则我们可以发现：

${\displaystyle M(t)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{Rt\cos(\theta )}\sin ^{2}(\theta )\,d\theta }$ 

并得以此式子得出(详见Abramowitz and Stegun §9.6.18) （页面存档备份，存于互联网档案馆）：

${\displaystyle M(t)=2\,{\frac {I_{1}(Rt)}{Rt}}}$ 

式中的 ${\displaystyle I_{1}(z)}$  是一变异贝索函数(Modified bessel functions)。

同样地，其特征方程式：

${\displaystyle \varphi (t)=2\,{\frac {J_{1}(Rt)}{Rt}}}$ 

其中的 ${\displaystyle J_{1}(z)}$  是贝索函数。( 详见 Abramowitz and Stegun §9.1.20) （页面存档备份，存于互联网档案馆）。若取一有限且接近0的实数 ${\displaystyle R}$ ，则维格纳半圆分布成为一狄拉克δ函数 (Dirac delta function)。微分方程式 (Differential equation)

${\displaystyle \left\{\left(r^{2}-x^{2}\right)f'(x)+xf(x)=0,\ f(1)={\frac {2{\sqrt {r^{2}-1}}}{\pi r^{2}}}\right\}}$ 

在 非古典概率 (free probability) 理论中，维格纳半圆分布有着如同正态分布 (Normal Distribution) 在古典概率中一样的角色。 也就是说，在非古典概率中，累积量 (Cumulant) 的角色被"自由累积量" (free Cumulant、待翻译)。

• The W.s.d. is the limit of the Kesten–McKay distributions, as the parameter d tends to infinity.
• In number-theoretic literature, the Wigner distribution is sometimes called the Sato–Tate distribution. See Sato–Tate conjecture.
• Marchenko–Pastur distribution or Free Poisson distribution

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.

• Eric W. Weisstein et al., Wigner's semicircle （页面存档备份，存于互联网档案馆）