维格纳半圆分布

维格纳半圆分布是一以物理学家尤金·维格纳(Eugene Wigner)命名的概率分布。其概率密度函数(Probability Distribution Function)系一存在[-R,R]区间内的半圆形分布、以(0,0)为中心点并经过适当规范化(Normalized)的结果,因而其实其函数图型是一半椭圆形。

维格纳半圆分布
概率密度函数
Plot of the Wigner semicircle PDF
累积分布函数
Plot of the Wigner semicircle CDF
参数 radius (real)
值域
概率密度函数
累积分布函数
for
期望值
中位数
众数
方差
偏度
峰度
矩生成函数
特征函数

for −RxR, and f(x) = 0 if R < |x|.

此概率分布可做为一大小接近无限的随机对称矩阵,其特征值(Eigenvalues) 的分布限制范围。

它是一个经过缩放的Β分布(Beta Distribution)。精确而言:当Y值有B分布(α = β = 3/2)时,则其X = 2RYR值具备上述分布特性。

性质

第二种切比雪夫多项式(Chebyshev Polynomial)是此分布的正交多项式 (Orthogonal Polynomial) 。对于正整数n,此分布之第2n动差(Moment)为:

 

此处 X是一随机变数,而Cn是第n卡塔兰数(Catalan number):

 


因此若R=2,此分布之动差为卡塔兰数。

(因为对称性的关系,所有奇数项之动差皆为0)

若以   替代式子动差生成函数(Moment generating Function)内的x,则我们可以发现:


 


并得以此式子得出(详见Abramowitz and Stegun §9.6.18)页面存档备份,存于互联网档案馆):


 


式中的   是一变异贝索函数(Modified bessel functions)。

同样地,其特征方程式:


 


其中的   是贝索函数。( 详见 Abramowitz and Stegun §9.1.20)页面存档备份,存于互联网档案馆)。若取一有限且接近0的实数  ,则维格纳半圆分布成为一狄拉克δ函数 (Dirac delta function)。微分方程式 (Differential equation)

 

与非古典概率的关系

非古典概率 (free probability) 理论中,维格纳半圆分布有着如同正态分布 (Normal Distribution) 在古典概率中一样的角色。 也就是说,在非古典概率中,累积量 (Cumulant) 的角色被"自由累积量" (free Cumulant、待翻译)。

参看

  • The W.s.d. is the limit of the Kesten–McKay distributions, as the parameter d tends to infinity.
  • In number-theoretic literature, the Wigner distribution is sometimes called the Sato–Tate distribution. See Sato–Tate conjecture.
  • Marchenko–Pastur distribution or Free Poisson distribution

参考

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.

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