卡塔兰数

卡塔兰数组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰(1814–1894)命名。历史上,清朝数学家明安图(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》中最先发明这种计数方式,远远早于卡塔兰[1][2][3]。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数[4]

明安图《割圜密率捷法》卷三 “卡塔兰数”书影
卡塔兰数

卡塔兰数的一般项公式为

第0项到第19项的卡塔兰数为:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, ...(OEIS数列A000108

性质

Cn的另一个表达形式为

 

所以,Cn是一个自然数;这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。

递推关系[5]

 

它也满足

 

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

 

它的含义是当n → ∞时,左式除以右式的商趋向于1。(这可以用n!的斯特灵公式来证明。)

所有的奇卡塔兰数Cn都满足 。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

而且

 

母函数

卡塔兰数母函数

 

[6]

 

解是

 

应用

组合数学中有非常多的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用n=3和n=4举若干例:

  • Cn表示长度2ndyck word英语Dyck word[7]的个数。Dyck词是一个有n个X和n个Y组成的字串,且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
  • 将上例的X换成左括号,Y换成右括号,Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
  • Cn表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数。下图中,n等于3,圆形表示节点,月牙形表示什么都没有。
  • Cn表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树的方案数。下图中,n等于3,圆形表示内部节点,月牙形表示外部节点。本质同上。

证明令1表示进栈,0表示出栈,则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数,满足从左往右扫描到任意一位时,经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有 个,下面考虑不满足要求的数目。

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数,扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1(容易证明一定存在这样的情况),则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0,则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然(相似的思路证明两者一一对应)。

从而 。证毕。

  • Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发,在格点右上角结束,每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数:X代表“向右”,Y代表“向上”。下图为n = 4的情况:
  • Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况:
  • Cn表示对{1, ..., n}依序进出置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n),其中Sw)递归定义如下:令w = unv,其中nw的最大元素,uv为更短的数列;再令S(w) = S(u)S(v)n,其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
  • Cn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分英语Noncrossing partition的个数。那么, Cn永远不大于第n贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数,其中每个段落的长度为2。综合这两个结论,可以用数学归纳法证明:在 魏格纳半圆分布定律 中度数大于2的情形下,所有 自由的 累积量s 为零。 该定律在自由概率论英语Free probability theory随机矩阵理论中非常重要。
  • Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为n = 4的情况:
  • Cn表示表为2×n的矩阵的标准杨氏矩阵的数量。 也就是说,它是数字 1, 2, ..., 2n 被放置在一个2×n的矩形中并保证每行每列的数字升序排列的方案数。同样的,该式可由勾长公式的一个特殊情形推导得出。
  • Cn表示n个无标号物品的半序的个数。

汉克尔矩阵

无论n的取值为多少,n×n汉克尔矩阵: 行列式为1。例如,n = 4 时我们有

 

进一步,无论n的取值为多少,如果矩阵被移动成 ,它的行列式仍然为1。例如,n = 4 时我们有

 

同时,这两种情形合在一起唯一定义了卡塔兰数。

参考文献

  1. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》第7卷 474-475页
  2. ^ 明安图第发明卡塔兰数之第一人. [2014-06-24]. (原始内容存档于2020-01-31). 
  3. ^ 中国人在18世纪发现卡塔兰数 (PDF). [2014-06-24]. (原始内容存档 (PDF)于2021-02-24). 
  4. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第七卷 476页
  5. ^ Bowman, Douglas; Regev, Alon. Counting symmetry classes of dissections of a convex regular polygon. Advances in Applied Mathematics. 2014-05, 56: 35–55 [2020-02-23]. doi:10.1016/j.aam.2014.01.004. (原始内容存档于2020-02-23) (英语). 
  6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Catalan Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-02-23]. (原始内容存档于2019-06-18) (英语). 
  7. ^ DyckPaths. www.findstat.org. [2020-02-23]. (原始内容存档于2020-12-03).