纳维-斯托克斯存在性与光滑性

以数学的观点来看，纳维－斯托克斯方程是一个针对任意维度向量场的非线性偏微分方程。在物理及工程的观点，纳维－斯托克斯方程是一个用连续介质力学描述液体或非稀疏气体运动的方程组。此方程是以牛顿第二运动定律为基础，考虑一黏滞性牛顿流体的所有受力，包括压强、黏滞力及外界的体积力。

由于克雷数学研究所提出的问题是以三维空间下，不可压缩的匀质流体为准，以下也只考虑此条件下的纳维－斯托克斯方程。

令${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)}$ 为描述流体速度的三维向量场，且${\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}$ 为流体压强^{[note 1]}。纳维－斯托克斯方程为：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}$ 

其中

${\displaystyle \nu >0}$ 为动黏滞度

${\displaystyle \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}$ 为外力

${\displaystyle \nabla }$ 为梯度运算子

${\displaystyle \displaystyle \Delta }$ 为拉普拉斯算子，也可写为${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ 

上述方程是向量方程，可以分解为三个标量的方程，将速度及外力分解为三个坐标下的分量：

${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,v_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}\,,\qquad \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,f_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}}$ 

则纳维－斯托克斯方程可写成以下的形式，${\displaystyle i=1,2,3}$ ：

${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\boldsymbol {x}},t).}$ 

其中的未知数有速度${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)}$ 及压强${\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}$ 。由于只考虑三维空间，因此有三个方程及四个未知数，分别是速度的三个分量及压强，还需要一个方程才能解出所有的未知数。这个新增的方程是描述流体不可压缩性的连续性方程：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}$ 

由于最后一个方程，纳维－斯托克斯方程解的速度会是无散度的向量函数。对于在均匀介质中的无散度流，其密度及动黏滞度为定值。

克雷数学研究所提出的纳维-斯托克斯问题，有二种不同的条件。原始问题是在整个空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 中，需要有关初始条件及解随位置变化的额外信息。为了不要考虑初始条件及解在无穷远处的特性，纳维-斯托克斯方程也可以设定在一个周期性的空间中，因此不需考虑方程在整个空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ，只需考虑方程在一个3维环面${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$ 下的特性。以下会分别处理这二种条件下的问题。

假设及无穷远处特性

初始条件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ 假设是光滑及无散度的函数，使得对于每一个多重指标${\displaystyle \alpha }$ 及${\displaystyle K>0}$ ，存在一常数${\displaystyle C=C(\alpha ,K)>0}$ （此常数会依${\displaystyle \alpha }$ 及K而变化）使得

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {v_{0}} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert )^{K}}}\qquad }$ 对于所有${\displaystyle \qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.}$ 

外力${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$ 假设也是一个光滑函数，满足一个非常类似的不等式（此时多重指标也包括时间的导数）：

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {f} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert +t)^{K}}}\qquad }$  对于所有 ${\displaystyle \qquad (x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$ 

考虑其实际的物理意义，此条件下的解需是光滑函数，当${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$ 时不会快速增加。更精准地说，有以下的假设：

1. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}$ 
2. 存在一常数${\displaystyle E\in (0,\infty )}$  使得${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx<E}$  对于所有的 ${\displaystyle t\geq 0\,.}$ 

条件1表示此函数为光滑、全局定义的函数，条件2表示此解的动能在全局中有上下界。

在整个空间中的千禧年大奖难题描述

(A) 在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 空间下纳维-斯托克斯方程解的存在性及光滑性

令${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}$ 。对于所有符合上述假设的初始条件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ，纳维-斯托克斯方程存在一光滑及全局定义的解，就是存在一速度向量${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ 及压强${\displaystyle p(x,t)}$ 满足上述的条件1及2。

(B) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 下纳维-斯托克斯方程解存在性的反证

存在一初始条件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ 及外力${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$ 使得纳维-斯托克斯方程不存在一解满足上述条件1及2。

假设

此处的函数需满足对于位置变数的周期性，其周期为1。更精准地说，令${\displaystyle e_{i}}$ 为j方向的单位向量：

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0)\,,\qquad e_{2}=(0,1,0)\,,\qquad e_{3}=(0,0,1)}$ 

则${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ 对位置变数有周期性也就表示对于任何的${\displaystyle i=1,2,3}$ ，以下的式子均成立：

${\displaystyle \mathbf {v} (x+e_{i},t)=\mathbf {v} (x,t){\text{ for all }}(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$ 

因此方程不是在整个空间，而是在一商空间 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$ ，也就是一个3维环面：

${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\{(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}):0\leq \theta _{i}<2\pi \,,\quad i=1,2,3\}.}$ 

有上述的说明后，可以说明需要的假设。初始条件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ 假设是一个光滑及无散度的函数，外力也是一个光滑函数。满足以下的条件：

3. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))}$ 

4. 存在一常数${\displaystyle E\in (0,\infty )}$ 使得${\displaystyle \int _{\mathbb {T} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx<E}$ 对于所有${\displaystyle t\geq 0\,.}$ 

和之前的条件类似，条件3表示函数是光滑及全局定义，条件4表示此解的动能在全局中有上下界。

周期性的千禧年大奖难题描述

(C)${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$ 空间下纳维-斯托克斯方程解的存在性及光滑性

令${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}$ ，对于任何满足上述假设的初始条件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ，纳维-斯托克斯方程存在一光滑及全局定义的解，就是存在一速度向量${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ 及压强${\displaystyle p(x,t)}$ 满足上述的条件3及条件4。

(D)${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$ 下纳维-斯托克斯方程解存在性的反证

存在一初始条件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ 及外力${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$ 使得纳维-斯托克斯方程不存在一解满足上述条件3及条件4。

1. 二维空间下的纳维-斯托克斯问题已在1960年代得证：存在光滑及全局定义解的解^[2]。
2. 在初速${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ 相当小时此问题也已得证：存在光滑及全局定义解的解^[1]。
3. 若给定一初速${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ，且存在一有限、依${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ 而变动的时间T，使得在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times (0,T)}$ 的范围内，纳维-斯托克斯方程有平滑的解，还无法确定在时间超过T后，是否仍存在平滑的解^[1]。
4. 数学家让·勒雷在1934年时证明了所谓纳维-斯托克斯问题弱解的存在，此解在平均值上满足纳维-斯托克斯问题，但无法在每一点上满足^[3]。

• The Clay Mathematics Institute's Navier–Stokes equation prize
• Why global regularity for Navier–Stokes is hard （页面存档备份，存于互联网档案馆） — Possible routes to resolution are scrutinized by Terence Tao.
• Fuzzy Fluid Mechanics
• Navier–Stokes existence and smoothness (Millennium Prize Problem) A lecture on the problem by Luis Caffarelli