适应过程

设有

• 概率空间${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ；
• 测度空间${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$ ，状态空间；
• 有序的指标集${\displaystyle T}$ ： 可以是非负实数集${\displaystyle [0,\infty )}$ 、有限时间集${\displaystyle [0,T_{0}]}$ 或离散时间${\displaystyle \mathbb {N} }$ ；
• σ-代数${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 上的参考族${\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$ ；
• 随机过程${\displaystyle X:T\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}}$ 。

则随机过程${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}$ 是适应过程（适应于${\displaystyle \mathbb {F} }$ 的随机过程）当且仅当对任意的时刻${\displaystyle t\in T}$ ，映射：${\displaystyle X_{t}:\Omega \to S}$ 都是${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t},{\mathcal {A}})}$ -可测的随机变量^[1]:37[2]:97。

适应过程的定义说明，如果一个过程适应于某个参考族${\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$ ，那么在任意一个特定的时刻，我们掌握的信息都包括了这个过程。也就是说这个过程在任意时刻的结果必然在该时刻可知。但一般来说，适应过程在任意时刻的结果并不能提前预知。如果一个（离散的）随机过程在时刻${\displaystyle t=n}$ 的结果能够在${\displaystyle t=n-1}$ 的时刻已知，那么这个过程被称为在参考族${\displaystyle \mathbb {F} }$ 中可预测。可预测的随机过程必然适应于参考族，反之则不然。

设状态空间${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$ 为实数及其波莱尔σ-代数${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ 。设指标集为连续的：${\displaystyle T=[0,\infty ).}$  给定一个随机过程${\displaystyle X=\left(X_{t}\right)_{t\in T}}$ ，如果考虑过程${\displaystyle X}$ 产生的自然参考族：${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}^{X}=\{{\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}|t\in T\}}$ 

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}=\sigma \left(X_{s}\,;\,\,0\leqslant s\leqslant t\right)=\sigma \left(\left\{X_{s}^{(-1)}(H)\,|\,0\leqslant s\leqslant t,\,\,H\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\right\}\right)}$ 

那么${\displaystyle X}$ 当然是适应于${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}^{X}}$ 的过程，因为在每个时刻，${\displaystyle X}$ 都是${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}}$ -可测的随机变量。自然参考族也是能使得${\displaystyle X}$ 为适应变量的“最小”参考族。${\displaystyle X}$ 适应于某个参考族${\displaystyle {\mathcal {F}}^{r}=\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$ ，当且仅当在任何时刻${\displaystyle t\in T}$ ，${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}.}$ ^[3]:98

设${\displaystyle X=\left(X_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ 是某彩票每期的开奖结果，那么${\displaystyle X}$ 是一个适应随机过程，但不可能是一个可预测过程。