旋转体

计算旋转体的体积有两种积分的方法，分别是圆盘法和圆柱壳法。

圆盘法

圆盘法是通过将图形按垂直于旋转轴的平面切成无数个圆盘，然后沿着旋转轴进行积分。

曲线${\displaystyle f(x)}$ , ${\displaystyle g(x)}$ , ${\displaystyle x=a}$ , ${\displaystyle x=b}$  所围成图形绕 ${\displaystyle x}$  轴旋转所得体积由下式给出：

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\vert f^{2}(x)-g^{2}(x)\vert \,dx}$ 

如果${\displaystyle g(x)=0}$ （即所围成的图形以 ${\displaystyle x}$  轴为边），这个式子就变成：

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}$ 

圆柱壳法

圆柱壳法是将图形切割成无数个环形，然后沿半径进行积分。

曲线${\displaystyle f(x)}$ , ${\displaystyle g(x)}$ , ${\displaystyle x=a}$ , ${\displaystyle x=b}$  所围成图形绕 ${\displaystyle y}$  轴旋转所得体积由下式给出：

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\vert f(x)-g(x)\vert \,dx}$ 

如果${\displaystyle g(x)=0}$ （即所围成的图形以 ${\displaystyle x}$  轴为边），这个式子就变成：

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\vert f(x)\vert \,dx}$ 

• Solid of Revolution （页面存档备份，存于互联网档案馆） at MathWorld
• Plot a solid of revolution （页面存档备份，存于互联网档案馆）