古尔丁定理

古尔丁定理(英语:Guldinus theorem[注 1],最初由古希腊的帕普斯发现,后来在16世纪保罗·古尔丁英语Paul Guldin又重新发现了这个定理。

表面积

  • 有一条平面曲线,跟它的同一个平面上有一条轴。由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积 ,等于曲线的长度 乘以曲线的几何中心经过的距离  
  1. 例:设环面圆管半径为 ,圆管中心到环面中心距离为 ,把环面看成上面提到的曲线,其几何中心是圆管中心。所以环面表面积为 

若有平面连续曲线 ,求  时,曲线以 轴旋转所得的曲面表面积。可考虑一小段曲线,其几何中心便是 曲线长度 ,因此这个曲面的表面积便是:

 

体积

  • 由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积 ,等于平面形状面积 乘以平面形状的几何中心经过的距离 的积: 

再考虑一般平面曲线下的面积的情况,可得旋转体体积 

注释

  1. ^ 又称帕普斯几何中心定理(Pappus centroid theorem)、古鲁金定理巴普斯定理