几何标准差

几率论统计学中,几何标准差形容一组数值有多分散,用于当这一组数字理应优先选用的平均数为几何平均数之时。对于这类数据,几何标准差可能优于普通的标准差。留意几何标准差是个乘法因数,因此是无量纲的,而不似普通的算术标准差,与输入数值有同样的量纲

定义

若一组数字{A1, A2, ..., An}的几何平均数用μg表示,则几何标准差是

 

推导

若几何平均数是

 

则两边取自然对数

 

乘积的对数等于对数的和(假设对于所有  是正数),所以

 

现在可以看出 是这组 算术平均数,因此这同一组的算术标准差应为

 

这化简成

 

几何标准分数

标准分数的几何版本是

 

若已知一个数据的几何平均数、几何标准差、和几何标准分数,则可重构原始分数英语raw score

 

与对数正态分布的关系

几何标准差用于量度对数正态分布的离散程度,就如几何平均数[1]。由于对数正态分布通过对数变换得出正态分布,可见几何标准差是e的幂,指数为对数变换后的标准差,即是 

于是乎,从一个呈对数正态分布的母体中,抽取样本来计算出几何平均数和几何标准差,可用来找出置信区间的上下限,如同使用算术平均数和标准差求正态分布的置信区间。详见对数正态分布

参考

  1. ^ Kirkwood, TBL. Geometric means and measures of dispersion. Biometrics. 1979, 35: 908–9. JSTOR 2530139.