标准分数

标准分数Standard Score,又称z-score,中文称为Z-分数标准化值)在统计学中是一种无因次值,就是一种纯数字标记,是借由从单一(原始)分数中减去总体平均值,再依照总体(母集合)的标准差分割成不同的差距,按照z值公式,各个样本在经过变换后,通常在正、负五到六之间不等。

正态分布跟标准分数之间的关系。

概念

标准分数与使用在高速筛选分析中的“Z-约数”(z-factor)不同,甚至有时两者会互相混淆。

其约化过程被称为“标准化”(standardizing)。

标准分数可借由以下公式求出:

 

其中  

其中

  •   是需要被标准化的原始分数
  •   是总体的平均值
  •   是总体的标准差

Z值的量代表着原始分数和总体平均值之间的距离,是以标准差为单位计算。在原始分数低于平均值时Z则为负数,反之则为正数。换句话说,Z值是从感兴趣的点到均值之间有多少个标准差。

关键点是,计算Z值时需要“总体”的平均值和标准差,而不是“样本”的平均值和标准差。因此需要了解总体的统计数据资料。

但是要确实了解总体真正的标准差往往是不切实际的,除非是在“标准化测验”(Standardized testing英语Standardized testing)之类的情形中,整个总体都是经过测量的。在其他情况中,几乎不可能测量总体的每一个组成单位,因此通常会使用随机的样本来评估标准差。例如:“有吸烟习惯的总人数”就不是经过一个一个测量而得出的。

在这种情况下,标准分数为:

 

其中  

其中

  •   是样本平均值
  •   是样本的标准差

当总体为正态分布时,其百分位数可能是由标准分数和普通表格所决定的。

数理统计学中的标准化

数理统计学中,随机变量“X”是使用理论(总体)的平均值和标准差所标准化的结果:

 

其中 μ = E(X) 为平均值、σ² = Var(X) 为X概率分布之方差

若随机变量无法确定时,则为算术平均数

 

因此经过标准化的结果为:

 

应用

  • 日本,标准分数常被用在计算学力测验的“学力偏差值”,并且依此判断进入理想大学的可能性。
  • 智力测验时,用来计算“智力标准分数”,在教育的用途上,常和“智商”一起被当作参考的依据。

高考标准分

截至2020年,中国大陆地区曾有福建省海南省实行标准分制度以计算高考总分。

外部链接

参见