中心流形

动力系统的中心流形是以系统的平衡点为基础，以球为例，就是球静止，没有变形的状态。 平衡点的中心流形包括了邻近的轨迹（英语：Orbit (dynamics)）中，没有快速指数衰减，也没有快速指数增长的的轨迹。若以球来说，中心流形中包括了球的移动及自旋运动，但不包括球的形变（因为形变会由于阻尼力而快速衰减）。

在数学上，研究动力系统平衡点的第一步是线性化，之后计算其特征值和特征向量。 其对应特征值有负实数的特征向量（若有广义特征向量（英语：generalized eigenvectors）的话，也包括在内）可以组成基的特征空间。 对应特征值有正实数的（广义）特征向量可以组成不稳定的特征空间。 若平衡点为双曲平衡点（英语：hyperbolic equilibrium point）（所有线性化后的特征值，实部都不为0）。Hartman-Grobman定理（英语：Hartman-Grobman theorem）可以保证在平衡点附近的动态可以完全用特征值及特征向量来描述。

若平衡点的特征值中，有特征值的实部是零，则是对应的（广义）特征向量会组成“中心特征空间”，以球为例，就是球在不受力下刚体动力学的整个集合^[2]。 若不只考虑线性化后的系统，将动力系统加上非线性或是外力的微扰，中心特征空间会变形到邻近的中心流形 ^[3]。 若特征值不只是实部为零，而是特征值的复数值为零（如球的例子），对应的特征空间可以更准确的对应慢流形（英语：slow manifold）。 中心（慢）流形的行为无法由线性化来判定，因此不容易建构。

类似的道理，在稳定特征空间或不稳定特征空间加上非线性或是外力的微扰，会让系统变形到邻近的稳定流形或不稳定流形 ^[4]。 这三种流形是不变流形中的三类例子。

令${\displaystyle {\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}})}$ 是动力系统，其平衡点为${\displaystyle {\textbf {x}}^{*}}$ ，则系统在平衡点附近的线性化为

${\displaystyle {\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}=A{\textbf {x}},\quad {\text{where }}A={\frac {d{\textbf {f}}}{d{\textbf {x}}}}({\textbf {x}}^{*}).}$ 

雅可比矩阵 ${\displaystyle A}$ 可以定义以下的三种子空间：

• 稳定子空间，是由特征值实部小于0的广义特征向量（英语：generalized eigenvectors）所生成。
• 不稳定子空间，是由特征值实部大于0的广义特征向量所生成。
• 中心子空间，是由特征值实部等于0的广义特征向量所生成。

依照应用的不同，也会分类以下的子空间，例如中心稳定、中心不稳定、次中心、或是快速子空间。 这些子空间都是线性化方程的不变子空间。

对应线性系统，非线性系统会有慢流形，每一种都会包括一种非线性系统的轨迹集合^[5]。

• 和稳定子空间相切，有相同维度的不变流形是稳定流形.
• 不稳定流形和不稳定子空间相切，也有相同维度。
• 中心流形和中心子空间相切，有相同维度。若中心子空间的特征值都为0，此中心流形会称为慢流形。

中心流形存在定理（center manifold existence theorem）内容是：若函数${\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {x}})}$  是${\displaystyle C^{r}}$ （${\displaystyle r}$ 次的连续可微），则针对每一个平衡点，都存在一个有限大小的邻域，使得以下三项叙述，至少会有一项成立^[6]：

• 唯一的${\displaystyle C^{r}}$ 稳定流形
• 唯一的${\displaystyle C^{r}}$ 不稳定流形
• （可能不唯一的）${\displaystyle C^{r-1}}$ 中心流形

像非线性的座标转换为正则型式（英语：normal form (bifurcation theory)）就可以清楚的分出这三种流形^[7]。有网页服务可以针对有限维的系统进行必要的电脑计算^[8]。

若在那些没有不稳定流形的例子中，中心流形一般会和建模有关。 中心流形出现定理提到可以选择邻域，使系统的所有解维持在会以指数收敛到中心流形上某个解${\displaystyle {\textbf {y}}(t)}$ 的范围内。 也就是说 ${\displaystyle {\textbf {x}}(t)={\textbf {y}}(t)+{\mathcal {O}}(e^{-\beta 't})\quad {\text{as }}t\to \infty \,,}$  会以某速率值${\displaystyle \beta '}$ 进行 ^[9]。 此定理也确保针对多许多的初始条件，整个系统的解会快速指数收敛到比较低维度的中心流形上。

第三个定理是近似定理，若针对某不变流形（例如${\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})}$ ），有近似表示式满足系统的微分方程，当${\displaystyle {\textbf {s}}\to {\textbf {0}}}$ 时，其residuals为${\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})}$ ，则不变流形可以用${\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})}$ 来近似，其误差也是同一量级的，例如是${\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})}$ 。

另一种反向分析

上述的理论都是针对特定问题，想找到不变流形的性质。特别是建构一个流形来近似系统的不变流形。 另一种方式是针对给定系统，找到一个近似的系统，建构此系统的不变流形，这称为反向分析。 目的是将理论应用到范围更广的系统中，并估计误差以及有效域的大小 ^[10][11]。

此方法和数值建模中公认的反向误差分析（英语：backward error analysis）完全相同。

平衡点的稳定性和其流形的“稳定性”有关，中心流形是否存在的问题也带来了有关中心流形的系统动力学问题，这可以由中心流形约化（center manifold reduction）来分析，再配合系统参数μ，可以引到分岔理论的概念。也有些网站可以进行相关计算^{[12][13][14][15]}。

简单的例子

考虑以下系统

${\displaystyle {\dot {x}}=x^{2},\quad {\dot {y}}=y.}$ 

在原点的不稳定流形为y轴，稳定流形为平凡集{(0, 0)}。不在稳定流形上的任何轨迹都满足以下形式的方程式${\displaystyle y=Ae^{-1/x}}$ ，其中A为实数的常。可以推得针对任意的A，可以创建中心流形，方式是将${\displaystyle y=Ae^{-1/x}}$ ，x > 0的部分，和x为非正值的X轴连接。而且，所有的中心流形都有潜在的非唯一性，不过非唯一性只会发生在变数为复数的情形下。

时滞微分方程

另一个例子可以用中心流形来为霍普夫分岔建模，霍普夫分岔是发生在以下的时滞微分方程

${\displaystyle {dx}/{dt}=-ax(t-1)-2x^{2}-x^{3}}$ 

参数${\displaystyle a\approx 4}$ 的情形。严格来说，因为有时滞，微分方程会变成无限维。 不过可以用以下的方式来近似时滞，让系统仍为有限维度。

定义${\displaystyle u_{1}(t)=x(t)}$  以及适当的时滞变数 ${\displaystyle x(t-1)\approx u_{3}(t)}$ ，利用其中间值 ${\displaystyle {du_{2}}/{dt}=2(u_{1}-u_{2})}$ 及 ${\displaystyle {du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})}$ .

在接近临界值的参数${\displaystyle a=4+\alpha }$ ，时滞微分方程可以用以下系统来近似

${\displaystyle {\frac {d{\textbf {u}}}{dt}}=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&-4\\2&-2&0\\0&2&-2\end{array}}\right]{\textbf {u}}+\left[{\begin{array}{c}-\alpha u_{3}-2u_{1}^{2}-u_{1}^{3}\\0\\0\end{array}}\right].}$ 

透过网页服务，可以找到相量${\displaystyle s(t)}$  以及其共轭${\displaystyle {\bar {s}}(t)}$ ，中心流形为

${\displaystyle {\textbf {u}}=\left[{\begin{array}{c}e^{i2t}s+e^{-i2t}{\bar {s}}\\{\frac {1-i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {1+i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\\-{\frac {i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\end{array}}\right]+{O}(\alpha +|s|^{2})}$ 

中心流形的演进为

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\left[{\frac {1+2i}{10}}\alpha s-{\frac {3+16i}{15}}|s|^{2}s\right]+{O}(\alpha ^{2}+|s|^{4})}$ 

从此演进可以看出，系统在${\displaystyle \alpha >0\ (a>4)}$ 时，在原点是线性的不稳定，但三次非线性使其有稳定的极限环，就像经典霍普夫分岔的结果一样。

• Guckenheimer, John; Holmes, Philip, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Applied Mathematical Sciences 42, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-90819-9, corrected fifth printing .