样条插值

使用多项式插值，对给定数据集进行插值的n阶多项式就被给定数据点所唯一地定义出来。但是，对同样的数据进行插值的n阶样条并不是唯一的，为了构建一个唯一的样条插值式它还必须满足另外n-1个自由度。

线性样条插值是最简单的样条插值。数据点使用直线进行连接，结果样条是一个多边形。

从代数的角度来看，每个S_i 都是一个如下

${\displaystyle S_{i}(x)=y_{i}+{\frac {y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}}(x-x_{i})}$ 

的线性函数。 样条在每个数据点都必须连续，即

${\displaystyle S_{i}(x_{i+1})=S_{i+1}(x_{i+1})\qquad {\mbox{ , }}i=1,\ldots n-1}$ 

我们很容易得到

${\displaystyle S_{i-1}(x_{i})=y_{i-1}+{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}(x-x_{i-1})=y_{i}}$ 

${\displaystyle S_{i}(x_{i})=y_{i}+{\frac {y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}}(x-x_{i})=y_{i}}$ 

所以以上论述成立。

二次样条插值可以构建为

${\displaystyle S_{i}(x)=y_{i}+z_{i}(x-x_{i})+{\frac {z_{i+1}-z_{i}}{2(x_{i+1}-x_{i})}}(x-x_{i})^{2}}$ 

通过选择${\displaystyle z_{0}}$ ，然后用递推关系就可以得到系数：

${\displaystyle z_{i+1}=-z_{i}+2{\frac {y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}}}$ 

对于${\displaystyle n+1}$ 给定点的数据集${\displaystyle \{x_{i}\}}$ ，我们可以用${\displaystyle n}$ 段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果

${\displaystyle S(x)=\left\{{\begin{matrix}S_{0}(x),\ x\in [x_{0},x_{1}]\\S_{1}(x),\ x\in [x_{1},x_{2}]\\\cdots \\S_{n-1}(x),\ x\in [x_{n-1},x_{n}]\end{matrix}}\right.}$ 

表示对函数${\displaystyle f}$ 进行插值的样条函数，那么需要：

• 插值特性，${\displaystyle S(x_{i})=f(x_{i})}$ 
• 样条相互连接，${\displaystyle S_{i-1}(x_{i})=S_{i}(x_{i}),i=1,\ldots ,n-1}$ 
• 两次连续可导，${\displaystyle S'_{i-1}(x_{i})=S'_{i}(x_{i})}$  以及 ${\displaystyle S''_{i-1}(x_{i})=S''_{i}(x_{i}),i=1,\ldots ,n-1}$ .

由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成${\displaystyle S}$ 的${\displaystyle n}$ 个三次多项式来说，这就意味着需要${\displaystyle 4n}$ 个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了${\displaystyle n+1}$ 个条件，内部数据点给出${\displaystyle n+1-2=n-1}$ 个条件，总计是${\displaystyle 4n-2}$ 个条件。我们还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。

其中一项选择条件可以得到给定${\displaystyle u}$ 与${\displaystyle v}$ 的钳位三次样条，

${\displaystyle S'(x_{0})=u\,\!}$ 

${\displaystyle S'(x_{k})=v\,\!}$ 

另外，我们可以设

${\displaystyle S''(x_{0})=S''(x_{n})=0\,\!}$ .

这样就得到自然三次样条。自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。

在这些所有的二次连续可导函数中，钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数f的最小震荡。

如果选择另外一些条件，

${\displaystyle S(x_{0})=S(x_{n})\,\!}$ 

${\displaystyle S'(x_{0})=S'(x_{n})\,\!}$ 

${\displaystyle S''(x_{0})=S''(x_{n})\,\!}$ 

可以得到周期性的三次样条。

如果选择，

${\displaystyle S(x_{0})=S(x_{n})\,\!}$ 

${\displaystyle S'(x_{0})=S'(x_{n})\,\!}$ 

${\displaystyle S''(x_{0})=f'(x_{0}),\quad S''(x_{n})=f'(x_{n})\,\!}$ 

可以得到complete三次样条。

三次样条的最小性

三次样条有另外一个非常重要的解释，实际上它是在索伯列夫空间${\displaystyle H^{2}([a;b])}$ 最小化泛函

${\displaystyle J(f)=\int _{a}^{b}|f''(x)|^{2}dx}$ 

的函数。

泛函${\displaystyle J}$ 包含对于函数${\displaystyle f(x)}$ 全部曲率${\displaystyle \left|{\frac {f''(x)}{(1+f'(x)^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right|}$ 的近似，样条是${\displaystyle f(x)}$ 最小曲率的近似。

由于弹性条的总体能量与曲率成比例，所以样条是受到${\displaystyle n}$ 个点约束的弹性条的最小能量形状。样条也是基于弹性条设计的工具。

使用自然三次样条的插值

它可以定义为

${\displaystyle S_{i}(x)={\frac {z_{i+1}(x-x_{i})^{3}+z_{i}(x_{i+1}-x)^{3}}{6h_{i}}}+\left({\frac {y_{i+1}}{h_{i}}}-{\frac {h_{i}}{6}}z_{i+1}\right)(x-x_{i})+\left({\frac {y_{i}}{h_{i}}}-{\frac {h_{i}}{6}}z_{i}\right)(x_{i+1}-x)}$ 

以及

${\displaystyle h_{i}=x_{i+1}-x_{i}\,\!}$ .

通过解下面的方程可以得到它的系数。

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z_{0}=0\\h_{i-1}z_{i-1}+2(h_{i-1}+h_{i})z_{i}+h_{i}z_{i+1}=6\left({\frac {y_{i+1}-y_{i}}{h_{i}}}-{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{h_{i-1}}}\right)\\z_{n}=0\end{matrix}}\right.}$ 

线性样条插值

假设要为带有节点

${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))=(x_{0},y_{0})=\left(-1,\ e^{-1}\right)\,\!}$ 

${\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))=(x_{1},y_{1})=\left(-{\frac {1}{2}},\ e^{-{\frac {1}{4}}}\right)\,\!}$ 

${\displaystyle (x_{2},f(x_{2}))=(x_{2},y_{2})=\left(0,\ 1\right)\,\!}$ 

${\displaystyle (x_{3},f(x_{3}))=(x_{3},y_{3})=\left({\frac {1}{2}},\ e^{-{\frac {1}{4}}}\right)\,\!}$ 

${\displaystyle (x_{4},f(x_{4}))=(x_{4},y_{4})=\left(1,\ e^{-1}\right)\,\!}$ 

的函数

${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}$ 

找一个线性样条。直接代入样条公式，我们得到如下样条：

${\displaystyle S(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{-1}+2(e^{-{\frac {1}{4}}}-e^{-1})(x+1)&x\in [-1,-{\frac {1}{2}}]\\e^{-{\frac {1}{4}}}+2(1-e^{-{\frac {1}{4}}})(x+{\frac {1}{2}})&x\in [-{\frac {1}{2}},0]\\1+2(e^{-{\frac {1}{4}}}-1)x&x\in [0,{\frac {1}{2}}]\\e^{-{\frac {1}{4}}}+2(e^{-1}-e^{-{\frac {1}{4}}})(x-{\frac {1}{2}})&x\in [{\frac {1}{2}},1]\\\end{matrix}}\right.}$ 

样条函数（蓝线）以及所近似的函数（红点）如下图所示：

二次样条插值

下图是一个k=4的样条函数（蓝线）与所近似的函数（红线）的例子：

• 三次埃尔米特样条
• NURBS