琴生不等式

延森不等式可以用测度论或概率论的语言给出。这两种方式都表明同一个很一般的结果。

测度论的版本

假设${\displaystyle \mu }$ 是集合${\displaystyle \Omega }$ 的正测度，使得${\displaystyle \mu (\Omega )=1}$ 。若${\displaystyle g}$ 是勒贝格可积的实值函数，而${\displaystyle \varphi }$ 是在${\displaystyle g}$ 的值域上定义的凸函数，则

${\displaystyle \varphi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right)\leq \int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu }$ 

概率论的版本

以概率论的名词，${\displaystyle \mu }$ 是个概率测度。函数${\displaystyle g}$ 换作实值随机变量${\displaystyle X}$ （就纯数学而言，两者没有分别）。在${\displaystyle \Omega }$ 空间上，任何函数相对于概率测度${\displaystyle \mu }$ 的积分就成了期望值。这不等式就说，若${\displaystyle \varphi }$ 是任一凸函数，则

${\displaystyle \varphi \left(E(X)\right)\leq E(\varphi (X))\,}$ 

概率密度函数的形式

假设${\displaystyle \Omega }$ 是实轴上的可测子集，而${\displaystyle f(x)}$ 是非负函数，使得

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1.}$ 

以概率论的语言，${\displaystyle f}$ 是个概率密度函数。

延森不等式变成以下关于凸积分的命题：

若${\displaystyle g}$ 是任一实值可测函数，${\displaystyle \varphi }$ 在${\displaystyle g}$ 的值域中是凸函数，则

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (g(x))f(x)\,dx.}$ 

若${\displaystyle g(x)=x}$ ，则这形式的不等式简化成一个常用特例：

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,f(x)\,dx.}$ 

有限形式

若${\displaystyle \Omega }$ 是有限集合${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$ ，而${\displaystyle \mu }$ 是${\displaystyle \Omega }$ 上的正规计数测度，则不等式的一般形式可以简单地用和式表示：

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})\lambda _{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\varphi (g(x_{i}))\lambda _{i},}$ 

其中${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}=1,\lambda _{i}\geq 0}$ 。

若${\displaystyle \varphi }$ 是凹函数，只需把不等式符号调转。

假设${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ 是正实数，${\displaystyle g(x)=x}$ ，${\displaystyle \lambda _{i}=1/n}$ 及${\displaystyle \varphi (x)=\log(x)}$ 。上述和式便成了

${\displaystyle \log \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}{\frac {\log(x_{i})}{n}},}$ 

两边取取以${\displaystyle e}$ 为底数的指数函数就得出熟悉的均值不等式：

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.}$ 

这不等式也有无限项的离散形式。

统计物理学

统计物理学中，若凸函数是指数函数，延森不等式特别重要：

${\displaystyle e^{\langle X\rangle }\leq \left\langle e^{X}\right\rangle ,}$ 

其中方括号表示期望值，是以随机变量X的某个概率分布算出。这个情形的证明很简单（参见Chandler, Sec. 5.5）：在以下等式的第三个指数函数

${\displaystyle \left\langle e^{X}\right\rangle =e^{\langle X\rangle }\left\langle e^{X-\langle X\rangle }\right\rangle }$ 

套用不等式

${\displaystyle e^{X}\geq 1+X,}$ 

即得出所求的不等式。

• Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. 1987. ISBN 0-07-054234-1. 
• David Chandler. Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. 1987. ISBN 0-19-504277-8. 

• MathWorld上的延森不等式网页 （页面存档备份，存于互联网档案馆）