格林公式

设闭区域 D 由分段光滑的简单曲线 L 围成，函数 P(x,y)及 Q(x,y)在 D 上有一阶连续偏导数，则有^[2][3]

${\displaystyle \iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\oint _{L^{+}}(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y)}$ 

其中L⁺是D的取正向的边界曲线。

此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线L的曲线积分与L所包围的区域D上的二重积分之间的关系。另见格林恒等式。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C₂和C₄是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C₁和C₃是水平的直线。

如果我们可以证明

${\displaystyle \int _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)} }$ 

以及

${\displaystyle \int _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)} }$ 

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为：

${\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$ 

其中g₁和g₂是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：

${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}$	${\displaystyle =\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L(x,y)}{\partial y}}\,dy\,dx\right]}$
	${\displaystyle =\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)} }$

现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C₁、C₂、C₃和C₄的并集。

对于C₁，使用参数方程：。那么：

${\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,dx}$ 

对于C₃，使用参数方程：${\displaystyle x=x,\,y=g_{1}(x),\,a\leq x\leq b}$ 。那么：

${\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx}$ 

沿着C₃的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C₂和C₄上，x是常数，因此：

${\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0}$ 

所以：

${\displaystyle \int _{C}L\,dx}$	${\displaystyle =\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx}$
	${\displaystyle =-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,dx\qquad \mathrm {(4)} }$

(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。

计算区域面积

使用格林公式，可以用线积分计算区域的面积^[4]。因为区域D的面积等于${\displaystyle A=\iint _{D}dA}$ ，所以只要我们选取适当的L与M使得${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1}$ ，就可以通过${\displaystyle A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)}$ 来计算面积。

一种可能的取值是${\displaystyle A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy)}$ ^[4]。

• 高斯公式
• 斯托克斯公式
• 格林函数