罗德里格公式

罗德里格公式（英语：Rodrigues' formula），旧称为艾沃里–雅可比公式，是一个关于勒壤得多项式的公式，分别被欧林罗德里格（1816），詹姆斯艾沃里 （1824）及卡尔雅可比 （1827）所独立发现。在埃尔米特于1865年指出罗德里格是第一个发现的人后，Heine在1878年建议使用“罗德里格公式”此名称。此名称亦被用于其它正交多项式的相似公式中。Askey (2005)详述了罗德里格公式的历史。

叙述

令 $\{P_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }$ 为一正交多项式序列，并满足以下条件：

\int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=K_{n}\delta _{m,n},

其中

w(x)

为权函数，

K_{n}

为与

n

有关之常数，

\delta _{m,n}

则是克罗内克δ函数。如果权函数

w(x)

满足以下微分方程（又称Pearson微分方程）：

{\frac {w'(x)}{w(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},

其中

A(x)

为次数最高为一的多项式，

B(x)

为次数最高为二的多项式；且以下极限成立：

\lim _{x\to a}w(x)B(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}w(x)B(x)=0,

那么我们可以证明

P_{n}(x)

满足以下递回关系式

P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[B(x)^{n}w(x)\right],

其中

c_{n}

为常数。此关系式称为“罗形公式”或是简称为“罗德里格公式”^[1]

罗形公式最常见的应用为勒壤得多项式、拉盖尔多项式和埃尔米特多项式。

对勒壤得多项式 $P_{n}$ ，罗德里格描述他的公式如下：

P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].

拉盖尔多项式通常被记为L₀, L₁, ⋯⋯，其罗形公式可被写为：

L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},

埃尔米特多项式的罗德里格公式则为：

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.

其他从史特姆-莱欧维尔方程所得之正交函数序列也有类似的公式，这些公式也被称为罗德里格公式（或是罗形公式），特别是所得函数为多项式时。

参考资料

^ Rodrigues formula – Encyclopedia of Mathematics. www.encyclopediaofmath.org. [2018-04-18] （英语）.

Askey, Richard, The 1839 paper on permutations: its relation to the Rodrigues formula and further developments, Altmann, Simón L.; Ortiz, Eduardo L. (编), Mathematics and social utopias in France: Olinde Rodrigues and his times, History of mathematics 28, Providence, R.I.: American Mathematical Society: 105–118, 2005, ISBN 978-0-8218-3860-0
艾沃里, 詹姆斯, On the Figure Requisite to Maintain the Equilibrium of a Homogeneous Fluid Mass That Revolves Upon an Axis, Philosophical Transactions of the Royal Society of London (The Royal Society), 1824, 114: 85–150, JSTOR 107707, doi:10.1098/rstl.1824.0008 
雅可比, C. G. J., Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 − 2xz + z²)^1/2 entstehen., Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1827, 2: 223–226, ISSN 0075-4102, S2CID 120291793, doi:10.1515/crll.1827.2.223 （German）
约翰·J·奥康纳; 埃德蒙·F·罗伯逊（英语：Edmund F. Robertson）, Olinde Rodrigues, MacTutor数学史档案（英语）
罗德里格, 欧林, De l'attraction des sphéroïdes, Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique, (Thesis for the Faculty of Science of the University of Paris), 1816, 3 (3): 361–385

[1] Rodrigues formula – Encyclopedia of Mathematics. www.encyclopediaofmath.org. [2018-04-18] （英语）.

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