立方和

主验证

验证此公式，可透过因式分解，首先设以下公式：

${\displaystyle a^{2}b-a^{2}b+ab^{2}-ab^{2}=0\,\!}$ 

然后代入：

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}$ 

透过因式分解，可得：

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$ 

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$ 

这样便可验证：${\displaystyle a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$ 

和立方验证

透过和立方可验证立方和的原理：

${\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}$ 

${\displaystyle =x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!}$ 

那即是只要减去${\displaystyle 3x^{2}y}$ 及${\displaystyle 3xy^{2}}$ 便可得到立方和，可设：

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}$ 

右边的方程 ${\displaystyle =(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}$ 

运用因式分解的方法：

${\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!}$ 

${\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}$ 

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}$ 

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$ 

这样便可验证出：${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$ 

几何验证

透过绘立体的图像，也可验证立方和。^[2] 根据右图，设两个立方，总和为：

${\displaystyle x^{3}+y^{3}\,\!}$ 

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

${\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}$ 

要得到${\displaystyle x^{3}+y^{3}}$ ，可使用${\displaystyle (x+y)^{3}}$ 的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：

• ${\displaystyle x\times y\times (x+y)}$ 
• ${\displaystyle x\times (x+y)\times y}$ 
• ${\displaystyle (x+y)\times y\times x}$ 

把三个部分加在一起，便得：

${\displaystyle =xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)\,\!}$ 

${\displaystyle =3xy(x+y)\,\!}$ 

之后，把${\displaystyle (x+y)^{3}}$ 减去它，便得： ${\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!}$  上公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：

${\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}$ 

${\displaystyle (x+y)^{2}}$ 可透过和平方公式，得到：

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}$ 

${\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$ 

这样便可证明${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$ 

反验证

透过${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$ 也可反验证立方和。

${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$ 

${\displaystyle =a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$ 

${\displaystyle =a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}$ 

${\displaystyle =a^{3}+b^{3}\,\!}$ 

以上计算方法亦可简化为一个表格：

这样便可证明${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$ 

立方差也可以使用立方和来验证，例如：

${\displaystyle 125u^{3}-343v^{3}\,\!}$ 

把两个数项都转为立方数：

${\displaystyle =(5u)^{3}-(7v)^{3}\,\!}$ 

运用负正得负，可得：

${\displaystyle =(5u)^{3}+(-7v)^{3}\,\!}$ 

然后运用立方和，可得：

${\displaystyle =\left[5u+(-7v)\right]\left[25u^{2}-(5u)(-7v)+(-7v)^{2}\right]}$ 

${\displaystyle =(5u-7v)(25u^{2}+35uv+49v^{2})\,\!}$ 

这个方法更可验证到立方差的公式是${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!}$ 

有些整数可以有两个立方和组合，^[3] 而最少的，已是过千的1729。它是两组不同的立方和：

${\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}\,\!}$ 

${\displaystyle 1729=9^{3}+10^{3}\,\!}$ 

下一个同样有两个立方和组合的整数是4104：

${\displaystyle 4104=9^{3}+15^{3}\,\!}$ 

${\displaystyle 4104=2^{3}+16^{3}\,\!}$ 

首十个两组立方和的数：1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728

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