点灯夫群

群论中,点灯夫群(英语:Lamplighter group)是两个圈积,也可以表示为两个的半直积

其中以平移作用

点灯夫群是有限生成群,不过并非有限展示的。点灯夫群有如下标准展示:

点灯夫群的名称来自以下阐释:假设有一列向左右无限伸延的街灯及一个点灯夫。每盏街灯有明和暗两种状态。起初点灯夫在原点处的街灯下,而所有灯都关了。点灯夫群的元素,可视为对点灯夫的指示:把元素用a, t写成一个字,然后从左到右读,如果是a,点灯夫把面前的街灯点亮或者熄灭;如果是t,点灯夫向右移到下一个街灯;如果是t-1,点灯夫向左移到下一个街灯。这样每个元素就代表街灯的状态及点灯夫的位置。[1]

点灯夫群特别之处,在于这个群是可均群(因为是可解群),却有指数增长率[2]

参考

  1. ^ Cleary, Sean; Taback, Jennifer. Metric properties of the lamplighter group as an automata group. Geometric methods in group theory. Providence, RI: Amer. Math. Soc.: 207–218. 2005. 
  2. ^ V. A. Kaimanovich and A. M. Vershik. Random Walks on Discrete Groups: Boundary and Entropy. Annals of Probability. 1983, 11 (3): 457–490 [2018-05-16]. (原始内容存档于2016-03-04).