模逆元

用扩展欧几里得算法

设${\displaystyle \mathrm {exgcd} (a,n)}$ 为扩展欧几里得算法的函数，则可得到${\displaystyle ax+ny=g}$ ，${\displaystyle g}$ 是${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle n}$ 的最大公因数。

若${\displaystyle g=1}$ 

则该模逆元存在，根据结果${\displaystyle ax+ny=1}$ 

在${\displaystyle {\bmod {n}}}$ 之下，${\displaystyle ax+ny\equiv ax\equiv 1}$ ，根据模逆元的定义${\displaystyle a\cdot a^{-1}\equiv 1}$ ，此时${\displaystyle x}$ 即为${\displaystyle a}$ 关于模${\displaystyle n}$ 的其中一个模逆元。

事实上，${\displaystyle x+kn(k\in \mathbb {Z} )}$  都是${\displaystyle a}$ 关于模${\displaystyle n}$ 的模逆元，这里我们取最小的正整数解${\displaystyle x\mod n}$ （${\displaystyle x<n}$ ）。

若${\displaystyle g\neq 1}$ 

则该模逆元不存在。

因为根据结果${\displaystyle ax+ny\neq 1}$ ，在${\displaystyle {\bmod {n}}}$  之下，${\displaystyle ax\equiv g(g<n)}$ 不会同余于${\displaystyle 1}$ ，因此满足${\displaystyle a\cdot a^{-1}\equiv 1}$ 的${\displaystyle a^{-1}}$ 不存在。

用欧拉定理

欧拉定理证明当${\displaystyle a,n}$ 为两个互素的正整数时，则有${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$ ，其中${\displaystyle \varphi (n)}$ 为欧拉函数（小于${\displaystyle n}$ 且与${\displaystyle n}$ 互素的正整数个数）。

上述结果可分解为${\displaystyle a^{\varphi (n)}=a\cdot a^{\varphi (n)-1}\equiv 1{\pmod {n}}}$ ，其中${\displaystyle a^{\varphi (n)-1}}$ 即为${\displaystyle a}$ 关于模${\displaystyle n}$ 之模逆元。

求整数3对同余11的模逆元素${\displaystyle x}$ ,

${\displaystyle x\equiv 3^{-1}{\pmod {11}}}$ 

上述方程可变换为

${\displaystyle 3x\equiv 1{\pmod {11}}}$ 

在整数范围${\displaystyle \mathbb {Z} _{11}}$ 内，可以找到满足该同余等式的${\displaystyle x}$ 值为4，如下式所示

${\displaystyle 3(4)=12\equiv 1{\pmod {11}}}$ 

并且，在整数范围${\displaystyle \mathbb {Z} _{11}}$ 内不存在其他满足此同余等式的值。

故，整数3对同余11的模逆元素为4。

一旦在整数范围${\displaystyle \mathbb {Z} _{11}}$ 内找到3的模逆元素，其他在整数范围${\displaystyle \mathbb {Z} }$  内满足此同余等式的模逆元素值便可很容易地写出——只需加上${\displaystyle m=11}$  的倍数便可。

综上，所有整数3对同余11的模逆元素x可表示为

${\displaystyle 4+(11\cdot z),z\in \mathbb {Z} }$ 

即 {..., −18, −7, 4, 15, 26, ...}.