哈密尔顿–凯莱定理

举例明之，考虑下述方阵：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$ 

其特征多项式为

${\displaystyle p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2}$ 

此时可以直接验证哈密尔顿–凯莱定理：

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=O}$ 

此式可以简化高次幂的运算，关键在于下述关系：

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=O}$ 

${\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}}$ 

例如，为了计算${\displaystyle A^{4}}$ ，可以反复利用上述关系式：

${\displaystyle A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2}}$ 

${\displaystyle A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A}$ 

${\displaystyle A^{4}=145A+54I_{2}}$ 

或是，如果要计算${\displaystyle A^{n}}$ ，也可以假设：

${\displaystyle A^{n}=aA+bI}$ 

然后，依照前面的特征多项式${\displaystyle \lambda ^{2}-5\lambda -2}$ 之两解${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ ，代入后可以得到

${\displaystyle \lambda _{1}^{n}=a\lambda _{1}+b}$ 

${\displaystyle \lambda _{2}^{n}=a\lambda _{2}+b}$ 

然后解方程后求出${\displaystyle a,b}$ ，便可得${\displaystyle A^{n}}$ 。

此外，哈密尔顿–凯莱定理也是计算特征向量的重要工具。

注：一般而言，若${\displaystyle n\times n}$ 矩阵${\displaystyle A}$ 可逆（即：${\displaystyle \det(A)\neq 0}$ ），则${\displaystyle A^{-1}}$ 可以写成${\displaystyle A}$ 的幂次和：特征多项式有如下形式

${\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}-\operatorname {tr} (A)\lambda ^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}\det(A)}$ 

将方程式${\displaystyle p(A)=0}$ 同乘以${\displaystyle A^{-1}}$ ，便得到

${\displaystyle A^{-1}={\frac {(-1)^{n-1}}{\det(A)}}(A^{n-1}-\operatorname {tr} (A)A^{n-2}+\cdots )}$ 

以下考虑布于域${\displaystyle k=\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ 上的矩阵。

哈密尔顿–凯莱定理可以视为线性代数中拉普拉斯展开的推论。拉普拉斯展开可推出若${\displaystyle S}$ 是${\displaystyle n\times n}$ 矩阵，而${\displaystyle \operatorname {adj} (S)}$ 表其伴随矩阵，则

${\displaystyle S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I_{n}}$ 

取${\displaystyle S=tI_{n}-A}$ ，便得到${\displaystyle (tI_{n}-A)\operatorname {adj} (tI_{n}-A)=p_{A}(t)I_{n}}$ 。此式对所有${\displaystyle t}$ 皆成立，由于实数或复数域有无穷多元素，上式等式在多项式环${\displaystyle k[t]}$ 内成立。

设${\displaystyle M:=k^{n}}$ ，矩阵${\displaystyle A}$ 赋予${\displaystyle M}$ 一个${\displaystyle k[t]}$ -模结构：${\displaystyle f(t)\cdot m=f(A)m}$ 。考虑${\displaystyle k[t]}$ -模${\displaystyle M[t]:=M\otimes _{k}k[t]}$ ，我们有${\displaystyle k[t]}$ -模之间的“求值态射”：

${\displaystyle e_{A}:M[t]\to M,\qquad M\otimes t^{i}\mapsto A^{i}m}$ 

固定${\displaystyle m\in M}$ ，对${\displaystyle M[t]}$ 中的等式

${\displaystyle (tI_{n}-A)\operatorname {adj} (tI_{n}-A)\,m=p_{A}(t)m}$ 

右侧取${\displaystyle e_{A}}$ 后得到${\displaystyle p_{A}(A)m}$ ，左侧取${\displaystyle e_{A}}$ 后得到${\displaystyle (A-A)\cdot (\cdots )=0}$ 。明所欲证。

另外一个简单的证明：
令：

${\displaystyle B={\mbox{adj}}(tI_{n}-A)}$ 

由:

${\displaystyle S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I_{n}}$ 

得：

${\displaystyle (tI_{n}-A)B=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)I_{n}&=(tI_{n}-A)B\\&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}tI_{n}\cdot t^{i}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}A\cdot t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle p(t)I_{n}=\det(tI_{n}-A)I_{n}=t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n}}$ 

因两多项式，他们的对应项系数相等得：

${\displaystyle B_{n-1}=I_{n},\qquad B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\quad {\text{for }}1\leq i\leq n-1,\qquad -AB_{0}=c_{0}I_{n}~}$ 

在等式两边t的i次项系数分别乘以Aⁱ, 并将等式左右两边分别相加并合项得：

${\displaystyle O=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}=p(A)}$ 

得证。

前述证明用到系数在${\displaystyle k[t]}$ 的矩阵的克莱姆法则，事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。借此，哈密尔顿–凯莱定理可以推广到一个交换环${\displaystyle R}$ 上的任何有限生成自由模${\displaystyle M}$ （向量空间是特例）。中山正引理的一种证明就用到这个技巧。

• PlanetMath 上的证明（页面存档备份，存于互联网档案馆）