极小多项式

抽象代数中,一个上的代数元 极小多项式(或最小多项式)是满足 的最低次首一多项式(多项式内最高次项之系数为1) 。此概念对线性代数代数扩张的研究极有助益。

形式定义

  为一个域,  为有限维  -代数。对任一元素  ,集合   张出有限维向量空间,所以存在非平凡的线性关系 :

 

可以假设  ,此时多项式   满足  。根据多项式环里的除法,可知这类多项式中只有一个次数最小者,称之为  极小多项式

由此可导出极小多项式的次数等于  ,而且   可逆当且仅当其极小多项式之常数项非零,此时   可以表成   的多项式。

矩阵的极小多项式

考虑所有   矩阵构成的  -代数  ,由于  ,此时可定义一个  矩阵之极小多项式,而且其次数至多为  ;事实上,根据凯莱-哈密顿定理,可知其次数至多为  ,且其根属于该矩阵的特征值集。

极小多项式是矩阵分类理论(若尔当标准型有理标准形)的关键。

极小多项式与代数扩张

  有限扩张,此时可视   为有限维  -代数。根据的性质,极小多项式必为素多项式。元素的迹数范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。