有限秩算子

典范型

有限秩算子类似有限大小的矩阵，但是放在无穷维空间中。于是，可藉线性代数技巧刻画其性质。

由线性代数知，复矩阵${\displaystyle M\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$ 之秩为1，当且仅当${\displaystyle M}$ 可以写成：

${\displaystyle M=\alpha \cdot uv^{*}}$  其中 ${\displaystyle \|u\|=\|v\|=1}$  且 ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ 

同样可证希氏空间${\displaystyle H}$ 上，算子${\displaystyle T}$ 之秩为1，当且仅当

${\displaystyle Th=\alpha \langle h,v\rangle u\quad \forall h\in H,}$ 

其中${\displaystyle \alpha ,u,v}$ 与有限维情况满足同等条件。由此，用数学归纳法，可证秩${\displaystyle n}$ 的算子${\displaystyle T}$ 必可写成

${\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad \forall h\in H,}$ 

其中${\displaystyle \{u_{i}:i=1,2,\ldots ,n\}}$ 和${\displaystyle \{v_{i}:i=1,2,\ldots ,n}\}$ 皆为标准正交基。前述表示法实质等同于奇异值分解，可以称为有限秩算子的“典范型”（canonical form）。

略加推广，若${\displaystyle n}$ 改为可数无穷，而正实数列${\displaystyle \{\alpha _{i}\}}$ 仅会聚于0，则${\displaystyle T}$ 为紧算子（英语：compact operator on Hilbert space），相应的和式称为紧算子的典范型。

若级数${\displaystyle \sum _{i}\alpha _{i}}$ （迹）收敛，则${\displaystyle T}$ 是迹类算子。

代数性质

希氏空间${\displaystyle H}$ 上，全体有限秩算子之族${\displaystyle F(H)}$ 是有界算子代数${\displaystyle L(H)}$ 的双边*理想。此外，其为此类（非零）理想中最小者，即${\displaystyle L(H)}$ 的任何双边*理想${\displaystyle I}$ 必包含全体有限秩算子。简证如下：取非零算子${\displaystyle T\in I}$ ，则有非零的${\displaystyle f,g}$ 使${\displaystyle Tf=g}$ 。衹需证对任意${\displaystyle h,k\in H}$ ，将${\displaystyle h}$ 映至${\displaystyle k}$ 的秩1算子${\displaystyle S_{h,k}}$ 属于${\displaystyle I}$ 。同样定义${\displaystyle S_{h,f}}$ 和${\displaystyle S_{g,k}}$ ，则有

${\displaystyle S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},\,}$ 

从而${\displaystyle S_{h,k}}$ 在${\displaystyle I}$ 中，证毕。

${\displaystyle L(H)}$ 的双边*理想举例有迹类、希尔伯特-施密特算子类、紧算子类。三类各自配备范数，而${\displaystyle F(H)}$ 在此三个赋范空间中稠密。

由于${\displaystyle L(H)}$ 的每个双边理想都包含${\displaystyle F(H)}$ ，${\displaystyle L(H)}$ 为单代数当且仅当有限维。

巴拿赫空间${\displaystyle U,V}$ 之间的有限秩算子${\displaystyle T:U\to V}$ 是值域仅得有限维的有界算子。与希氏空间的情况一样，可以写成

${\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\langle u_{i},h\rangle v_{i}\quad \forall h\in U,}$ 

其中${\displaystyle v_{i}\in V}$ ，但由于${\displaystyle U}$ 中没有定义内积，${\displaystyle u_{i}\in U'}$ 换成${\displaystyle U}$ 上的有界线性泛函。

有界线性泛函是有限秩算子的特例，其秩为1。