西尔维斯特方程

利用克罗内克积以及向量化量子（英语：Vectorization (mathematics)）${\displaystyle \operatorname {vec} }$ ，可以改写西尔维斯特方程为

${\displaystyle (I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,}$ 

其中${\displaystyle I_{k}}$ 为${\displaystyle k\times k}$ 单位矩阵。在此形式下，可以将问题改为${\displaystyle mn\times mn}$ 维的线性系统^[3]。

命题

假定复数的${\displaystyle n\times n}$ 矩阵${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ ，西尔维斯特方程针对任意${\displaystyle C}$ 有唯一解${\displaystyle X}$ ，若且唯 若${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle -B}$ 没有共同的特征值。

证明

考虑线性转换${\displaystyle S:M_{n}\rightarrow M_{n}}$ ，${\displaystyle X\mapsto AX+XB}$ .

(i)假设${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle -B}$ 没有共同的特征值，则其特征方程式 ${\displaystyle f(z)}$ 和${\displaystyle g(z)}$ 的最大公因式为${\displaystyle 1}$ ，因此存在复数多项式${\displaystyle p(z)}$ 和${\displaystyle q(z)}$ ，使得${\displaystyle p(z)f(z)+q(z)g(z)=1}$ 。依照Cayley–Hamilton定理，${\displaystyle f(A)=0=g(-B)}$ ；因此${\displaystyle g(A)q(A)=I}$ 。令${\displaystyle X}$ 为${\displaystyle S(X)=0}$ 的解，则${\displaystyle AX=-XB}$ ，重复上述作法，可得${\displaystyle X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0}$ 。因此依照秩－零化度定理，${\displaystyle S}$ 是可逆的，因此针对所有的${\displaystyle C}$ 都存在唯一的解${\displaystyle X}$ 。

(ii) 相对的，若假设${\displaystyle s}$ 是${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle -B}$ 的共同特征值，则${\displaystyle s}$ 也是${\displaystyle A^{T}}$ 的特征值。存在非零向量 ${\displaystyle v}$ 和${\displaystyle w}$ 使得${\displaystyle A^{T}w=sw}$ 以及${\displaystyle Bv=-sv}$ 。选择${\displaystyle C}$ 使得${\displaystyle Cv={\overline {w}}}$ ，向量的元素是${\displaystyle w}$ 的共轭复数，则${\displaystyle AX+XB=C}$ 没有解${\displaystyle X}$ ，因为复数的双线性pairing ${\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Cv,w\rangle =\langle {\overline {w}},w\rangle }$ ，等号的右边为正值，而左侧为零。

假设二个大小分别为n和m的方阵A和B，以及大小为n乘m的矩阵C，则可以确认以下二个大小为n+m的方阵${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}}$ 和${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}}$ 是否彼此相似。这二个矩阵相似的条件是存在一矩阵X使得AX-XB=C，换句话说，X为西尔维斯特方程的解，这称为Roth消去法则（Roth's removal rule）^[4]。

可以用以下方式检查，若AX-XB=C，则

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.}$ 

Roth消去法则无法延伸到巴拿赫空间中的无穷维有界算子中^[5]。

西尔维斯特方程数值解的经典算法是Bartels–Stewart算法，利用QR算法（英语：QR algorithm）将矩阵${\displaystyle A}$ 和矩阵${\displaystyle B}$ 转换为舒尔形式，再用逆向取代法求解三角矩阵。此算法若用LAPACK计算，或是GNU Octave的lyap函数计算^[6]，计算复杂度是${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$ 个数学运算^{[来源请求]}。也可以参考其中的sylvester函数^[7][8]。在一些特定的影像处理应用中，西尔维斯特方程会有解析解^[9]。

• 李亚普诺夫方程
• 代数Riccati方程

• Sylvester, J. Sur l'equations en matrices px = xq. C. R. Acad. Sci. Paris. 1884, 99 (2): 67–71, 115–116. 
• Bartels, R. H.; Stewart, G. W. Solution of the matrix equation AX +XB = C. Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582. 
• Bhatia, R.; Rosenthal, P. How and why to solve the operator equation AX -XB = Y ?. Bull. London Math. Soc. 1997, 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828. 
• Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum. Linear Algebra Appl. 2011, 435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034. 
• Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE Transactions on Image Processing. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. 
• Birkhoff and MacLane. A survey of Modern Algebra. Macmillan. 1965: 213, 299.