1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …

通常以正方形和三角形来展示“1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...”这一无穷级数；将一个正方形或一个三角形分成四等分，每一分的面积为原先的四分一，并不断重复（如图左^[2][3]）。

假设图左的正方形面积为1，则最大的黑色正方形面积为（1/2）x（1/2）= 1/4。同样地，第二大黑色正方形的面积为1/16，第三大黑色正方形面积为1/64。如此类推，黑色正方形占的所有面积为1/4 + 1/16 + 1/64 + ...，这也是所有灰色正方形或所有白色正方形所占的面积。由于这三种颜色的正方涵盖正个原先的正方形，数学上写成：

${\displaystyle 3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1.}$ 

同样的几何方法也适用于三角形，如图右^[2][4][5]。如果大三角形的面积为1，则最大的黑色三角形的面积为 1/4，依此类推。另外，整个图案与其中的上部分次小三角形中的图案，具有自相似的性质。若图案不断重复，将形成一个谢尔宾斯基三角形。

阿基米德在其《抛物线的求积》中，以穷竭法求抛物线内的面积，在过程中牵涉到一系列的三角形。左图有一抛物线，其中AE为割线，被分成相等线段，阿基米德证明三角形CDE和三角形ABC的和是三角形ACE面积的 1/4。然后，他分别在三角形CDE和三角形ABC上相似地各画上两个三角，这四个三角的面积总和为三角形CDE和三角形ABC的 1/4。如此类推，他证明抛物线与割线之间的面积是三角形ACE的4/3。

命题23：设一系列的面积 A , B , C , D , … , Z , 其中 A 最大，而每个面积为下一个面积的4倍，则：

${\displaystyle A+B+C+D+\cdots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A.}$ 

为证明以上命题，阿基米德先计算：

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Z}{3}}&=&\displaystyle {\frac {4B}{3}}+{\frac {4C}{3}}+\cdots +{\frac {4Z}{3}}\\[1em]&=&\displaystyle {\frac {1}{3}}(A+B+\cdots +Y).\end{array}}}$ 

别一方面：

${\displaystyle {\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Y}{3}}={\frac {1}{3}}(B+C+\cdots +Y).}$ 

将这方程式减去之前的方程式：

${\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {Z}{3}}={\frac {1}{3}}A}$ 

再在方程式两面各加上A，以得到最终结果^[6]

现今，1 + 1/4 + 1/16 + ... 的标准写法如下：

${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}.}$ 

1. ^ Shawyer and Watson p. 3.
2. ^ ^{2.0 2.1} Nelsen and Alsina p. 74.
3. ^ Ajose and Nelson.
4. ^ Stein p. 46.
5. ^ Mabry.
6. ^ This presentation is a shortened version of Heath p.250.