1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …

数学上,1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...是一无穷级数,在数学史上是其中一个较早给算出总和的例子,由阿基米德于公元前250-200年发现[1],其总和为1/3。一般来说,对于任何一个 a,若等比数列的第一项是 a,而公比为1/4,其收敛总和如下:

图像示范

 
3s = 1

通常以正方形和三角形来展示“1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...”这一无穷级数;将一个正方形或一个三角形分成四等分,每一分的面积为原先的四分一,并不断重复(如图左[2][3])。

假设图左的正方形面积为1,则最大的黑色正方形面积为(1/2)x(1/2)= 1/4。同样地,第二大黑色正方形的面积为1/16,第三大黑色正方形面积为1/64。如此类推,黑色正方形占的所有面积为1/4 + 1/16 + 1/64 + ...,这也是所有灰色正方形或所有白色正方形所占的面积。由于这三种颜色的正方涵盖正个原先的正方形,数学上写成:

 
 
3s = 1

同样的几何方法也适用于三角形,如图右[2][4][5]。如果大三角形的面积为1,则最大的黑色三角形的面积为 1/4,依此类推。另外,整个图案与其中的上部分次小三角形中的图案,具有自相似的性质。若图案不断重复,将形成一个谢尔宾斯基三角形

阿基米德

 
抛物线的求积

阿基米德在其《抛物线的求积》中,以穷竭法抛物线内的面积,在过程中牵涉到一系列的三角形。左图有一抛物线,其中AE割线,被分成相等线段,阿基米德证明三角形CDE和三角形ABC的和是三角形ACE面积的 1/4。然后,他分别在三角形CDE和三角形ABC上相似地各画上两个三角,这四个三角的面积总和为三角形CDE和三角形ABC的 1/4。如此类推,他证明抛物线与割线之间的面积是三角形ACE的4/3。

命题23:设一系列的面积 A , B , C , D , … , Z , 其中 A 最大,而每个面积为下一个面积的4倍,则:

 

为证明以上命题,阿基米德先计算:

 

别一方面:

 

将这方程式减去之前的方程式:

 

再在方程式两面各加上A,以得到最终结果[6]

现今,1 + 1/4 + 1/16 + ... 的标准写法如下:

 

参考

  1. ^ Shawyer and Watson p. 3.
  2. ^ 2.0 2.1 Nelsen and Alsina p. 74.
  3. ^ Ajose and Nelson.
  4. ^ Stein p. 46.
  5. ^ Mabry.
  6. ^ This presentation is a shortened version of Heath p.250.

参考书目