费米黄金定则

黄金定则是薛定谔方程解哈密顿量最低阶摄动H'的直接结果。总哈密顿量是“原”哈密顿量H₀和摄动量的的和，${\displaystyle H=H_{0}+H'}$ 。在 相互作用绘景下，我们可以用未摄动的系统${\displaystyle |n\rangle }$ 的能量特征态搭配${\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle }$ 展开任一量子态的时间演化。

被摄动的系统的量子态的级数展开在一时间t是${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle }$ 。系数a_n(t) 是在狄拉克绘景下用来产生概率幅的未知含时函数。此一量子态遵循含时薛定谔方程:

${\displaystyle H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ~.}$ 

展开哈密顿量和量子态到一阶摄动，

${\displaystyle \left(H_{0}+H'-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} tE_{n}/\hbar }=0,}$  这里 E_n 和 |n⟩ 是稳定态H₀的特征值和特征函数 。

此等式可以被重写成一个针对${\displaystyle a_{n}(t)}$ 的时间演化的微分方程系统，

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\sum _{n}\langle k|H'|n\rangle a_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{n})/\hbar }.}$ 

此等式相当简洁但实际上无法普通地解开。

对于一个施加在t=0的常数摄动H'，我们可以用摄动理论${\displaystyle i}$ 。即，如果${\displaystyle H'=0}$ ，很明显的${\displaystyle a_{n}(t)=\delta _{n,i}}$ ，简明的表述系统仍在初始态${\displaystyle i}$ 。

对于${\displaystyle k\neq i}$ 情况下，因为${\displaystyle H'\neq 0}$ 所以${\displaystyle a_{k}(t)\neq 0}$ ，且因为摄动的影响上述几项量值皆假设很小。因此，可将${\displaystyle a_{n}(t)=\delta _{n,i}}$ 放入上述等式0阶项来得出第一个修正的振幅${\displaystyle a_{k}(t)}$ 。

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{i})/\hbar },}$ 

经过积分后，

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar a_{k}(t)=2\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t/2}{\frac {\sin \omega t/2}{\omega }}}$ 

对于${\displaystyle \omega \equiv (E_{k}-E_{i})/\hbar }$ ，和 a_i(0) =1，a_k(0)=0，跃迁到 a_k(t)态 (${\displaystyle k\neq i}$ )。

跃迁速率是

${\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left|a_{k}(t)\right|^{2}={\frac {2|\langle k|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {\sin \omega t}{\omega }},}$ 

一个对于小 ω 迅速上升的sinc函数。当${\displaystyle \omega =0}$ ，${\displaystyle \sin(\omega t)/\omega =t}$ ，所以到一个孤立的${\displaystyle |k\rangle }$ 量子态的跃迁率随时间t线性变化！

对于连续分布在能量E的量子态，它们一定要全部都被考虑到。因此需要在一能量区间中的态密度ρ(E)，来对它们的能量积分，同时也对应到ω。

${\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow f}={\frac {2}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \rho (\omega )|\langle f|H'|i\rangle |^{2}{\frac {\sin \omega t}{\omega }}~.}$ 

考虑很长一段时间，sinc函数在ω ≈ 0迅速攀升，以及可忽略外部区间只考虑[−π/t, π/t]  ; 密度以及跃迁元素可以被拿出积分，因此跃迁率

${\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow f}={\frac {2\rho |\langle f|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega {\frac {\sin \omega t}{\omega }}}$ 

只正比于狄利克雷积分，常数π。

“含时的部分消失了”，黄金定则是“常数衰变率”。^[7] 它作为一个常数影响辐射的粒子衰变。（然而经过相当长的时间后只要a_k ≪ a_i，a_k(t)的长期增长不会对最低阶的摄动理论产生影响。）