含时摄动理论

让我们简略的解释，含时摄动理论的狄拉克表述，其背后的点子。先为零摄动系统选择一个能量本征态的正交基 ${\displaystyle {|n\rangle }}$  。这些本征态与时间无关。

假若，在时间 ${\displaystyle t=0}$  ，零摄动系统处于本征态 ${\displaystyle |j\rangle }$  。那么，随着时间流逝，这系统的量子态可以表达为（采用薛定谔绘景：量子态随着时间流逝而演化，而对应于可观察量的算符则与时间无关）

${\displaystyle |j(t)\rangle =e^{-iE_{j}t/\hbar }|j\rangle }$  ；

其中，${\displaystyle E_{j}}$  是本征态 ${\displaystyle |j\rangle }$  的能级，${\displaystyle \hbar }$  是约化普朗克常数。

现在，添加一个含时间的哈密顿量摄动 ${\displaystyle V(t)}$  。包括摄动系统在内的哈密顿量 ${\displaystyle H}$  是

${\displaystyle H=H_{0}+V(t)}$  。(1)

标记 ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$  为含摄动系统在时间 ${\displaystyle t}$  的量子态。它遵守含时薛定谔方程:

${\displaystyle H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle }$  。(2)

在任何时间，量子态可以表达为本征态的线性组合：

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle }$  ；(3)

其中，${\displaystyle c_{n}(t)}$  是复函数，称为幅度。在这里，我们显性地表示出公式右手边的相位因子 ${\displaystyle e^{-iE_{n}t/\hbar }}$  。这只是为了便利因素。并不会因此而失去一般性。

假若系统的初始量子态是 ${\displaystyle |j\rangle }$  ，而又没有摄动作用，则幅度会有很理想的性质：随着时间的演化，

${\displaystyle c_{j}(t)=1}$  ，

${\displaystyle c_{n}(t)=0,\quad n\neq j}$  。

回思公式 (3) ，幅度 ${\displaystyle c_{n}(t)}$  的绝对平方是 ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$  在时间 ${\displaystyle t}$  处于本征态 ${\displaystyle |n\rangle }$  的概率：

${\displaystyle \left|c_{n}(t)\right|^{2}=\left|\langle n|\psi (t)\rangle \right|^{2}}$  。

将公式 (1) 与 (3) 代入含时薛定谔方程 (2) ，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[H_{0}+V(t)\right]\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle &=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle \right)\\&=\sum _{n}\left(i\hbar {\frac {\partial c_{n}(t)}{\partial t}}+c_{n}(t)E_{n}\right)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle \\\end{aligned}}}$ 。

由于 ${\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle }$  ，这公式左手边的 ${\displaystyle H_{0}}$  项目于右手边的 ${\displaystyle E_{n}}$  项目相抵销。所以，

${\displaystyle \sum _{n}\left(i\hbar {\frac {\partial c_{n}(t)}{\partial t}}\right)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)V(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle }$  。

将 ${\displaystyle \langle m|}$  内积于这公式两边，可以得到一组联立的偏微分方程：

${\displaystyle {\frac {\partial c_{m}}{\partial t}}={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{n}\langle m|V(t)|n\rangle \,c_{n}(t)\,e^{-i(E_{n}-E_{m})t/\hbar }}$  。

矩阵元素 ${\displaystyle \langle m|V(t)|n\rangle }$  的角色，影响到量子态的幅度改变的速率 ${\displaystyle {\frac {\partial c_{m}}{\partial t}}}$  。可是，注意到这迁移内中含有一个相位因子。经过一段超久于 ${\displaystyle \hbar /(E_{n}-E_{m})}$  的间隔时间，相位会转绕很多圈次。

一直到此，我们尚未尝试取近似值。所以，这一组偏微分方程仍旧是精确的。通过给予初始值 ${\displaystyle c_{n}(0)}$  ，原则上，我们可以找到（非摄动的）精确解。对于双态系统，只有两个能级 (${\displaystyle n=1,\,2}$ ) 的量子系统，可以很容易的找到答案。而且，很多量子系统，像氨分子，氢分子离子 (Hydrogen molecular ion) ，苯分子等等，都可以用双态系统模型来分析^[1]。但是对于更多能级的系统，找到精确解是非常困难的。我们只好寻找摄动解。我们可以用积分式来表达幅度：

${\displaystyle c_{n}(t)=c_{n}(0)+{\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}(t')\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }}$  。

重复的将 ${\displaystyle c_{n}(t)}$  的表达式代入这公式的右手边，可以得到一个迭代解：

${\displaystyle c_{n}(t)=c_{n}^{(0)}+c_{n}^{(1)}+c_{n}^{(2)}+\cdots }$  ；

其中，举例而言，一阶项目是

${\displaystyle c_{n}^{(1)}(t)={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}(0)\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }}$  。

应用含时摄动理论，可以得到更多进一步的结果，像费米黄金律 (Fermi's golden rule) 或戴森级数 (Dyson series) 。费米黄金律计算，因为含时摄动，从某个能量本征态发射至另外一个能量本征态的跃迁率。通过应用上述迭代法于时间演化算符，可以得到戴森级数。这是费曼图方法的起点之一。

• 双态系统
• 吸收
• 自发射 (spontaneous emission)
• 受激发射 (stimulated emission)
• 拉比问题 (Rabi problem)

1. ^ 费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修. 費曼物理學講義 III (2) 量子力學應用. 台湾: 天下文化书. 2006: pp. 71–108. ISBN 986-417-672-2.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• 圣地牙哥加州大学物理系量子力学视听教学：含时摄动理论