奇异函数

奇异函数（英语：singularity function）是一类含有奇异点的不连续函数（在奇异点不连续），其在数学领域里的名称为广义函数或分布。^[1][2][3]这些函数以角括号标记，形如 ${\displaystyle \langle x-a\rangle ^{n}}$，其中n为整数。而“${\displaystyle \langle \rangle }$”则被称为奇异括号。奇异函数的定义为：

n	${\displaystyle \langle x-a\rangle ^{n}}$
${\displaystyle <0}$	${\displaystyle {\frac {d^{|n+1|}}{dx^{|n+1|}}}\delta (x-a)\,}$
-2	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\delta (x-a)\,}$
-1	${\displaystyle \delta (x-a)\,}$
0	${\displaystyle H(x-a)\,}$
1	${\displaystyle (x-a)H(x-a)\,}$
2	${\displaystyle (x-a)^{2}H(x-a)}$
${\displaystyle \geq 0}$	${\displaystyle (x-a)^{n}H(x-a)}$

其中，${\displaystyle \delta (x)}$表示狄拉克δ函数，即单位脉冲。${\displaystyle \delta (x)}$的一次导数则被称为单位偶。${\displaystyle H(x)}$为单位阶跃函数：x<0 时 H(x)=0，而 x>0 时 H(x)=1。H(0)的值则按具体的约定而定。需要注意的是只有n=0时H(0)的值才有影响。${\displaystyle \langle x-a\rangle ^{1}}$则称为斜坡函数。