斜坡函数

斜坡函数是一个一元（英语：Unary function）实函数，因此其图形类似斜坡，故得其名，此函数常用在工程中（例如数字信号处理）。

斜坡函数的图

定义

斜坡函数（ $R(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ）可以用许多的解析方式来定义。以下是一些定义：

R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}

或

R(x):=\operatorname {max} (x,0)

R\left(x\right):=xH\left(x\right)

R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)

R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,\mathrm {d} \xi

R(x):=\langle x\rangle

此函数在整个定义域中的值都是非负值，因此其绝对值都是其自身。

$\forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geqslant 0$

及

$\left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right)$

斜坡函数的导数为单位阶跃函数

$R'(x)=H(x)\ \mathrm {if} \ x\neq 0$

{\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)

=

\int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx

=

{\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}

其中 $\delta (x)$ 为狄拉克δ函数（在此公式中，有出现其微分项）

$R(x)$ 单边的拉普拉斯变换定义如下：

{\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.

斜坡函数的每个迭代函数都是其自身：
$R\left(R\left(x\right)\right)=R\left(x\right)$ .

证明： $R(R(x)):={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}$ $=$
$=$ ${\frac {2R(x)}{2}}=R(x)$ .

此处应用到非零性质。