级数展开

在数学中,级数展开是将一个函数展开成级数,或无穷和的形式。它是一种计算仅靠基本运算符(加、减、乘、除)无法表达的函数的方法。

Approximation of cosine by a Taylor series
一个展示余弦函数被连续截断的麦克劳林级数逼近的动画。

由此产生的级数往往可以通过仅取有限项,产生近似。序列中使用的项越少,近似就越简单。由于省略的部分和产生的不精确通常可以用包含大O符号的方程来描述。对于非解析函数,开放区间上的级数展开是一个近似值。

级数展开的种类

这里介绍了若干种级数展开的方式:

泰勒级数是基于函数在一个点上的导数的幂级数。具体来说,如果函数   附近是无限可微的,那么 在该点周围的泰勒级数为 ,按照惯例  的麦克劳林级数是其在 处的泰勒数列。洛朗级数是泰勒级数的延伸,允许负指数项;它的形式是  并在环内收敛。

广义狄利克雷级数具有  的形式。它的一个重要特例是狄利克雷级数  傅里叶级数将周期函数展开成许多正弦和余弦函数之和。更具体地,一个周期为 的函数 的傅里叶级数为:

 

其中系数为:

 
 
在声学中,基音和泛音共同构成了一个傅里叶数列的例子。


斯特林公式 是对数Γ函数的一个近似值。

例子

下式为 泰勒级数

 

黎曼ζ函数的黎曼ζ函数是: