代数内部

作为数学的一个分支，在泛函分析中，向量空间子集的代数内部(英语：Algebraic interior)或径向核(英语：Radial kernel)是对内部概念的细化。它是给定集合相对于该点是吸收的的点构成的子集，即集合的径向点构成的集合。^[1]代数内部的元素通常被称为内点(英语：Internal point)。 ^[2]^[3]

正式地，如果 $X$ 是线性空间，则 $A\subseteq X$ 的代数内部是

\operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\exists t_{x}>0,\forall t\in [0,t_{x}],x_{0}+tx\in A\right\}

。^[4]

一般来说， $\operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))$ ，但如果 $A$ 是一个凸集，则有 $\operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))$ 。假设 $A$ 是凸集，则如果 $x_{0}\in \operatorname {core} (A),y\in A,0<\lambda \leq 1$ ，就有 $\lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} (A)$ 。

例子

如果 $A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ，则有 $0\in \operatorname {core} (A)$ ，但 $0\not \in \operatorname {int} (A)$ 且 $0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))$ 。

性质

令 $A,B\subset X$ 则：

$A$ 是吸收的当且仅当 $0\in \operatorname {core} (A)$ ^[1]
$A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)$ ^[5]
$A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)$ 如果 $B=\operatorname {core} B$ ^[5]

和内部的关系

令 $X$ 是拓扑向量空间， $\operatorname {int}$ 表示内部算子，且 $A\subset X$ ，则有：

$\operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A$
如果 $A$ 是非空凸集且 $X$ 有限维的，则有 $\operatorname {int} A=\operatorname {core} A$ ^[2]
如果 $A$ 是有非空内部的凸集，则有 $\operatorname {int} A=\operatorname {core} A$ ^[6]
如果 $A$ 是闭凸集且 $X$ 是完备度量空间，则有 $\operatorname {int} A=\operatorname {core} A$ ^[7]

另请参阅

内部
相对内部（英语：Relative interior）
拟相对内部（英语：Quasi-relative interior）
有序单位（英语：Order unit）
边界点

参考文献

^ ^1.0 ^1.1 Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe. Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and ( $\mu ,\rho$ )-Portfolio Optimization. 2000.
^ ^2.0 ^2.1 Aliprantis, C.D.; Border, K.C. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide 3rd. Springer. 2007: 199–200. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9.
^ John Cook. Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces (pdf). May 21, 1988 [November 14, 2012]. （原始内容存档 (PDF)于2019-02-27）.
^ Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ. Functional analysis I: linear functional analysis. Springer. 1992. ISBN 978-3-540-50584-6.
^ ^5.0 ^5.1 Zălinescu, C. Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. 2002: 2–3. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.
^ Shmuel Kantorovitz. Introduction to Modern Analysis. Oxford University Press. 2003: 134. ISBN 9780198526568.
^ Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, 2000 [2016-12-19], ISBN 9780387987057, （原始内容存档于2019-05-02） .

[coherent-1] 1.0 ^1.1 Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe. Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and ( $\mu ,\rho$ )-Portfolio Optimization. 2000.

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[cook-3] John Cook. Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces (pdf). May 21, 1988 [November 14, 2012]. （原始内容存档 (PDF)于2019-02-27）.

[4] Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ. Functional analysis I: linear functional analysis. Springer. 1992. ISBN 978-3-540-50584-6.

[Zalinescu-5] 5.0 ^5.1 Zălinescu, C. Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. 2002: 2–3. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.

[kantorovitz-6] Shmuel Kantorovitz. Introduction to Modern Analysis. Oxford University Press. 2003: 134. ISBN 9780198526568.

[7] Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, 2000 [2016-12-19], ISBN 9780387987057, （原始内容存档于2019-05-02） .

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