线面交点

空间中一个平面可以表示为点 ${\displaystyle \mathbf {p} }$  的集合

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$ 

其中 ${\displaystyle \mathbf {n} }$  是该平面的法线，${\displaystyle \mathbf {p_{0}} }$ 是平面上任意一点。（${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ 表示向量 ${\displaystyle \mathbf {a} }$  和 ${\displaystyle \mathbf {b} }$  的数量积）

而直线可表示为

${\displaystyle \mathbf {p} =d\mathbf {l} +\mathbf {l_{0}} \quad d\in \mathbb {R} }$ 

其中 ${\displaystyle \mathbf {l} }$ 是该直线的方向向量，${\displaystyle \mathbf {l_{0}} }$ 是直线上任意一点，${\displaystyle d}$ 是实数范围内的标量。将直线方程代入平面方程得

${\displaystyle (d\mathbf {l} +\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$ 

展开得

${\displaystyle d\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} +(\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$ 

解得 ${\displaystyle d}$ 

${\displaystyle d={(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} \over \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} }.}$ 

若 ${\displaystyle \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} =0}$ ，则直线与平面平行。此时，如果(${\displaystyle \mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$ ，则该直线在平面内，即直线上所有的点都是交点。否则，直线与平面没有交点。

若 ${\displaystyle \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} \neq 0}$ ，则直线与平面有且只有一个交点。解得 ${\displaystyle d}$ ，则交点的坐标为

${\displaystyle d\mathbf {l} +\mathbf {l_{0}} }$ .

空间中一条直线可以用一个点和一个给定的方向来描述。则一条直线可以表示为如下点的集合

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t,\quad t\in \mathbb {R} }$ 

其中 ${\displaystyle \mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})}$  和 ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})}$  是直线上两个不同的点。

相似地，一个平面可以表示为如下点的集合

${\displaystyle \mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v,\quad u,v\in \mathbb {R} }$ 

其中 ${\displaystyle \mathbf {p} _{k}=(x_{k},y_{k},z_{k})}$ ，${\displaystyle k=0,1,2}$  是平面上不共线的三个点。

直线和平面的交点可以表示为将直线上的点代入平面方程内，则参数方程如下：

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t=\mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v}$ 

即

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=(\mathbf {l} _{a}-\mathbf {l} _{b})t+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v,}$ 

用矩阵表示为

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}}$ 

可得点的坐标为

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t}$ 

若直线与平面平行或在平面内，那么向量 ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}}$ ，${\displaystyle \mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}}$  及 ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}}$ 是线性独立的，且矩阵为奇异矩阵。

若满足 ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ，则交点在直线上 ${\displaystyle \mathbf {l} _{a}}$  与 ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}}$  之间。

若满足

${\displaystyle u,v\in [0,1],\;\;\;(u+v)\leq 1,}$ 

则交点位于平面上 ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ，${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$  及 ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$ 所构成的三角形中。

该问题可用矩阵的形式表示解答：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}.}$ 

在计算机图形学中的光线追踪算法中，一个面可以被表示为几个平面的集合。一个面的图像可以用光线与每个面的交点表达。在基于视觉的三维重建中（计算机视觉的一个子场），深度通常是由“三角测量法”测算的。

• Intersections of Lines, Segments and Planes (2D & 3D) from GeomAlgorithms.com （页面存档备份，存于互联网档案馆）