Kappa曲线

Kappa曲线（kappa curve）也称为Gutschoven曲线（Gutschoven's curve），是外形类似希腊字母ϰ的二维代数曲线，Gérard van Gutschoven在1662年就开始研究此一曲线。Kappa曲线是伊萨克·巴罗第一批用rudimentary calculus来判断曲线切线的曲线之一。艾萨克·牛顿及约翰·白努利后来也有研究过此曲线。

Kappa曲线有二条垂直的渐近线

Kappa曲线在笛卡儿座标系下的方程为

${\displaystyle x^{2}(x^{2}+y^{2})=a^{2}y^{2}}$

其参数方程为

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin t,\\y&=a\sin t\tan t.\end{aligned}}}$

极坐标系的方程简单很多

${\displaystyle r=a\tan \theta .}$

Kappa曲线有二条垂直的渐近线，为${\displaystyle x=\pm a}$，在右图中以虚线表示。

Kappa曲线的曲率：

${\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {8(3-\sin ^{2}\theta )\sin ^{4}\theta }{a(\sin ^{2}(2\theta )+4)^{\frac {3}{2}}}}.}$

切线角为：

${\displaystyle \phi (\theta )=-\arctan \left({\tfrac {1}{2}}\sin(2\theta )\right).}$