一矩阵

所有的${\displaystyle n\times n}$ 的全一方阵（为方阵的全一矩阵）${\displaystyle J_{n}}$ 有以下性质：

• ${\displaystyle J_{n}}$ 的迹为${\displaystyle n}$ ^[5]
• 若${\displaystyle n\geq 2}$ ，${\displaystyle J_{n}}$ 的行列式为${\displaystyle \det J_{n}=0}$ 。对于小于2的情况，行列式为1，即${\displaystyle \det J_{1}=\det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1}$ 。（若也将${\displaystyle n=0}$ 考虑进来，则若将空矩阵也视为一种全一矩阵，则其行列式也为1^[6]）
• 全一矩阵${\displaystyle J_{n}}$ 的特征多项式为${\displaystyle (x-n)x^{n-1}}$ 
• 全一矩阵${\displaystyle J_{n}}$ 的极小多项式为${\displaystyle (x-n)x}$ 
• 全一矩阵${\displaystyle J_{n}}$ 的秩为1、特征值为${\displaystyle n}$ （代数重数为1）和0（代数重数为${\displaystyle n-1}$ ）^[7]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$ ，其中${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$ ^[8]
• 全一矩阵${\displaystyle J}$ 是阿达玛乘积的单位元^[9]

当全一矩阵${\displaystyle J}$ 在实矩阵运算时，以下附加性质成立：

• 全一矩阵${\displaystyle J}$ 为半正定矩阵
• ${\displaystyle {\frac {1}{n}}J_{n}}$ 为幂等矩阵^[8]
• 全一矩阵${\displaystyle J}$ 的矩阵指数为${\displaystyle \exp(J_{n})=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J_{n}}$ 

全一矩阵可以应用于数学领域中的组合学，特别是在涉及代数方法的图论中。举例来说，如果${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle n}$ 个顶点无向图${\displaystyle G}$ 的邻接矩阵，且${\displaystyle J}$ 是与${\displaystyle A}$ 相同维度的全一矩阵，则若${\displaystyle AJ=JA}$ 时，${\displaystyle G}$ 为正则图，反之亦然。^[10]

• 零矩阵
• 矩阵单元