空多胞形

在抽象几何学（英语：Abstract_polytope）中，空多胞形，又称虚无多胞形（英语：Null polytope）或零胞体（英语：Nullitope）是指不存在任何元素的多胞形[1]，对应到集合论中即为空集[2]。在抽象理论（英语：Abstract_polytope）中，所有多胞形都含有空多胞形[3]，对应到集合论中即为空集是任意集合的子集，因此有时会称空多胞形为所有多胞形的基底或本质[4]。空多胞形的维度是负一维[5][6][7][8] ，是所有多胞形中维度数最低的元素[9][10][11]。在空多胞形中，最高维度的元素和最低维度的元素是同一个元素[12]。此外，所有空多胞形皆属于正图形[13]。

虚无多胞形
Null polytope
A Square and its Hasse Diagram.PNG
上图以正方形展示一个二维正多胞形的组成元素：一个二维正多胞形（正方形）、四个一维正多胞形（线段）、四个零维正多胞形（顶点）和一个负一维正多胞形（空集）
类型抽象多胞形（英语：Abstract_polytope）
维度-1
对偶多胞形自身对偶
数学表示法
考克斯特符号
（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号
性质
胞无任何维度的胞
特性
正、空集合、抽象（英语：Abstract_polytope）

负一维空间

在抽象几何学（英语：Abstract_polytope）中，负一维空间表示比零维空间还低一个维度的负维空间，其代表了空多胞形本身的维度，由于空多胞形是一个空集合，因此负一维空间也等于一个空空间（英语：null space、或称虚无空间、零空间）[3]。也可以定义更低的维度作为空多胞形的基底，或空多胞形的维面，即超空多胞形（英语：Dinull polytope），存于负二维空间[14]，不过由于空多胞形已经是空集合了，因此一般不会给“空多胞形的维面”加以定义，或可以理解为超空多胞形并不存在，即空多胞形的维面不存在，或负二维空间不存在，否则如此定义可以一直不停递归下去，例如讨论“超空多胞形的维面”的定义，这不具有任何意义，且这概念仅有出现在文学作品中[15]，尚未有普遍接受的学术定义。

负一维空间仅是在抽象理论（英语：Abstract_polytope）表示一个比零维多胞形更低维度的一个元词。此外存于负一维空间的多胞形只有空多胞形。[16]

正零胞形

正零胞形
类别空多胞形
正图形
对偶多面体自身对偶
性质
胞0
面0
欧拉特征数未定义

依据正图形的定义，一个多胞形必须要具备严格的特征可递特性，对于该几何体内所有同维度的元素（如：点、线、面）都完全具有相同的性质，并且每一个元素皆为一个正图形，而零维多胞形的元素仅有{F−1, F0}、负一维多胞形的元素仅有{F−1}。由于在抽象理论（英语：Abstract_polytope）中，所有多胞形都含有空多胞形[3]因此正零胞形也必须是正图形才能满足所有元素都是正图形的定义。

另外，正零边形也可以视为零维或以下的正图形，或看做是空多胞形。

参见

参考文献

  1. ^ H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes, Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. 2012. ISBN 9780486141589. 
  2. ^ Johnson, Norman（英语：Norman Johnson (mathematician)）. Polytopes-abstract and real. Citeseer. 2003 [2016-08-02]. （原始内容存档于2017-03-05）. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Guy Inchbald. Vertex figures: The complete vertex and general vertex figures. steelpillow. 2005-01-06 [2016-08-02]. （原始内容存档于2016-08-19）. 
  4. ^ Polytopes of Various Dimensions. polytope.net. [2016-08-02]. （原始内容存档于2016-11-26）. 
  5. ^ JOHNSON, Norman. Polytopes-abstract （页面存档备份，存于互联网档案馆） and real. 2003.
  6. ^ Olshevsky, George. Uniform Panoploid Tetracombs. Unpublished manuscript. 2006. 
  7. ^ Showers, Patrick J. Abstract Polytopes from Nested Posets (Ph.D.论文). University of Akron. 2013. 
  8. ^ Guy Inchbald. Ditela, Polytopes and Dyads. steelpillow. [2021-08-02]. （原始内容存档于2018-10-18）. 
  9. ^ Fernández, Jose Abraham Caravaca. "Seminar. （页面存档备份，存于互联网档案馆）"
  10. ^ SHOWERS, Patrick J. Abstract Polytopes from Nested Posets. 2013. PhD Thesis. University of Akron.
  11. ^ Johnson, N.W., Geometries and Transformations, Cambridge University Press: pp. 224–225, 2018 [2021-08-04], ISBN 9781107103405, LCCN 2017009670, （原始内容存档于2021-08-04） 
  12. ^ Diudea, Mircea Vasile, Definitions in Polytopes, Multi-shell Polyhedral Clusters (Springer), 2018: 37––54, ISBN 978-3-319-64123-2, doi:10.1007/978-3-319-64123-2_3 
  13. ^ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.226
  14. ^ Wolcott, Luke; McTernan, Elizabeth. Imagining Negative-Dimensional Space (PDF). Bosch, Robert; McKenna, Douglas; Sarhangi, Reza (编). Proceedings of Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. Phoenix, Arizona, USA: Tessellations Publishing: 637–642. 2012 [25 June 2015]. ISBN 978-1-938664-00-7. ISSN 1099-6702. （原始内容 (PDF)存档于2015-06-26）. 
  15. ^ Wood, E. The Second Dimension: The Sacred Eye of Mob Island. Second Dimension. Createspace Independent Pub. 2015. ISBN 9781505724806. 
  16. ^ Regular Polytopes and Honeycombs. [2016-08-02]. （原始内容存档于2016-08-02）. 

外部链接