证明22/7大于π

${\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi }$ 

故此${\displaystyle {\frac {22}{7}}>\pi }$ 。

被积函数是一个分数，其分子和分母皆是非负函数，所以该积分是正数。由于被积函数是正数，由0至1的定积分也大于0。

以下就证明该积分实际上与${\displaystyle {22 \over 7}}$ 的关系：

${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle <\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx}$
	${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx}$	展开分子的数项
	${\displaystyle =\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx}$	多项式长除法
	${\displaystyle =\left[{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,\right]_{0}^{1}}$	定积分（微积分基本定理）
	${\displaystyle ={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \ }$	把结果代入1和0，然后相减。注意：${\displaystyle \arctan 1={\frac {\pi }{4}}}$
	${\displaystyle ={\frac {22}{7}}-\pi .}$	加数

布肯南数学比赛中的出现

求取这积分的值是1968年威廉·罗威尔·普特南数学竞赛的第一个题目^[5]：

A-1. 证明

${\displaystyle {\frac {22}{7}}-\pi =\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx}$ 

达赛尔（1944）指出，只要把1代入分母中的${\displaystyle x}$ ，可轻易取得积分的下限；把0代入分母中的${\displaystyle x}$ ，可取得积分的上限^[6]：

${\displaystyle {1 \over 1260}<\int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx<{1 \over 630}.}$ 

结果得出

${\displaystyle {22 \over 7}-{1 \over 630}<\pi <{22 \over 7}-{1 \over 1260}.}$ 

也许这是计算${\displaystyle \pi }$ 值至小数后3位的最快和最基本的方法。另参见达赛尔（1971）^[7].

• 圆周率
• 证明0.999...等于1
• 证明所有素数的倒数之和发散
• 费马平方和定理的证明
• 数学符号表

• Pi的故事（页面存档备份，存于互联网档案馆），Jonathan Borwein著；第5页出现这积分