高斯常数

高斯常数常用来表示${\displaystyle \color {blue}\Gamma ({\frac {1}{4}})}$ 的数值。

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$ 

换句话说

${\displaystyle G={\frac {[\Gamma ({\tfrac {1}{4}})]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$ 

因为${\displaystyle \pi }$ 和${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{4}})}$ 互相代数独立，且${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{4}})}$ 为无理数，因此高斯常数为超越数。

Lemniscate常数

高斯常数常用来定义lemniscate常数，第一lemniscate常数为：

${\displaystyle L_{1}\;=\;\pi G}$ 

第二lemniscate常数为：

${\displaystyle L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}}$ 

在计算伯努利双纽线的弧长时会出现这些常数。

以下是一个用Θ函数定义高斯常数的公式

${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })}$ 

也可以用以下快速收敛的级数表示

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}$ 

高斯常数也可以用无穷乘积表示：

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}$ 

在以下的定积分中也有高斯常数

${\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}dx=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}dx}$ 

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}}$ 

高斯常数的连分数为[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. （OEIS数列A053002）

• Lemniscatic椭圆函数（英语：Lemniscatic elliptic function）

• 埃里克·韦斯坦因. Gauss's Constant. MathWorld. 
• Sequences A014549 and A053002 in OEIS