平方平均数

平方平均数（英语：quadratic mean），又称均方根（或方均根，root mean square，缩写为RMS），是均方（一组数字平方的算术平均数）的平方根^[1]，是2次方的广义平均数的表达式，也可叫做2次幂平均数。其计算公式是：

M={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2} \over n}}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2} \over n}}

在连续函数 ${\begin{smallmatrix}f(x)\end{smallmatrix}}$ 的区间 ${\begin{smallmatrix}[a,b]\end{smallmatrix}}$ 内，其均方根定义为：

$f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {b-a}}{\int _{a}^{b}{[f(x)]}^{2}\,dx}}}$

应用

均方根常用来计算一组数据和某个数据的“平均差”。像交流电的电压、电流数值以及均匀加速直线运动的位移中点平均速度，都是以其实际数值的均方根表示。例如“220 V交流电”表示电压讯号的均方根（又称为有效值）为220 V，此为交流电瞬时值（瞬时值又称暂态值）的最大值（峰值）的 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ 。

另外，统计学中的标准差 ${\bar {s}}$ ，就是所有数据 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 和平均值 ${\bar {x}}$ 相减后的数据

x_{1}-{\bar {x}},x_{2}-{\bar {x}},...,x_{n}-{\bar {x}}

的均方根

{\bar {s}}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n}}}

适用模型

均方根值并非所有模型均适用，只有在数值分布呈现正态分布时才适用。如果分布呈现方波、三角波，就要用其他的公式，否则失真会很大。

参见

算术平均数
几何平均数
调和平均数
算术-几何平均数
平均数不等式
最小二乘法
均方差
数学符号表

参考文献

^ Root-mean-square value. A Dictionary of Physics (6 ed.). Oxford University Press. 2009 [2022-06-16]. ISBN 9780199233991. （原始内容存档于2022-01-25）.

[dicphys-1] Root-mean-square value. A Dictionary of Physics (6 ed.). Oxford University Press. 2009 [2022-06-16]. ISBN 9780199233991. （原始内容存档于2022-01-25）.

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