谱序列

让·勒雷当初为了研究代数拓扑学，而引入层的概念，从而面临计算层上同调的问题。为此，勒雷发明了现称勒雷谱序列的计算方法，它联系了一个层的上同调群与其正像的上同调群。

人们很快就发现：勒雷谱序列只是一个特例。谱序列还现身于纤维化等几何问题；更抽象地说，对合成函子取导函子也会得到谱序列，称为格罗滕迪克谱序列。虽然导范畴在理论层面提供了较简炼的框架，谱序列仍是最有效的计算工具。

由于谱序列包含大量的项，实际计算时往往会陷入带（至少）三重指标的群或模的迷阵。在许多实际状况中，谱序列最后会“塌陷”，此时谱序列可以给出明确的资讯。若谱序列不塌陷，则须靠一些窍门取得有用的资讯。

以下固定一个阿贝尔范畴 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ，常见例子是一个环上的模范畴。谱序列是一个非负整数 ${\displaystyle r_{0}}$  及下述资料：

• 对所有整数 ${\displaystyle r\geq r_{0}}$ ，有范畴中的一个对象 ${\displaystyle E_{r}}$ 。
• 自同态 ${\displaystyle d_{r}:E_{r}\to E_{r}}$ ，满足 ${\displaystyle d_{r}^{2}=0}$ ，称为边界映射或微分。
• 从 ${\displaystyle E_{r+1}}$  到 ${\displaystyle H(E_{r},d_{r})}$  的同构。

通常省去 ${\displaystyle E_{r+1}}$  与 ${\displaystyle H(E_{r},d_{r})}$  的同构，而写成等式。

最基本的例子是链复形 ${\displaystyle C_{\bullet }}$ ，它带有一个微分 ${\displaystyle d}$ 。取 ${\displaystyle r_{0}=0}$ ，并令 ${\displaystyle E_{0}=C_{\bullet }}$ ，于是必有 ${\displaystyle E_{1}=H(C_{\bullet })}$ ；这个新链复形上的微分只有一个自然的选择，就是零映射。于是有 ${\displaystyle E_{1}=E_{2}=\cdots }$ 。综之，我们得到一个链复形范畴上的谱序列：

• ${\displaystyle E_{0}=C_{\bullet }}$ 
• ${\displaystyle E_{r}=H(C_{\bullet })\;(r\geq 1)}$ 

由于只有 ${\displaystyle r=0}$  时微分映射才可能非零，此序列在第一步后就不含任何新资讯。

较常见的是双分次模（或层）范畴上的谱序列，表作 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ，此时的微分映射次数与 ${\displaystyle r}$  有关：对于上同调谱序列，${\displaystyle d_{r}:E_{r}\to E_{r}}$  的次数是 ${\displaystyle (r,-r+1)}$ 。对于同调谱序列，通常将各项写成 ${\displaystyle E_{r}}$ ，微分映射 ${\displaystyle d^{r}:E_{r}\to E_{r}}$  的次数是 ${\displaystyle (-r,r-1)}$ 。

谱序列之间的态射 ${\displaystyle f:E\to E'}$  定义为一族态射 ${\displaystyle f_{r}:E_{r}\to E_{r}'}$ ，使之与同构 ${\displaystyle E_{r+1}\simeq H(E_{r},d_{r})}$  交换。谱序列对此构成了一个阿贝尔范畴。

交换代数中大部分的谱序列来自链复形，而已知构造谱序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代数拓扑学中很常见，此时对于许多谱序列，正合偶是唯一已知的构造法。事实上，正合偶可以用来构造所有已知的谱序列。

同样固定一个阿贝尔范畴（通常取一个环上的双分次模）${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ，一个正合偶是：

• 一对对象 ${\displaystyle A,C}$ 
• 三个态射：
  • ${\displaystyle f:A\to A}$ 
  • ${\displaystyle g:A\to C}$ 
  • ${\displaystyle h:C\to A}$ 

使之满足下述正合条件：

• Image f = Kernel g
• Image g = Kernel h
• Image h = Kernel f

将这组资料简记为 ${\displaystyle (A,C,f,g,h)}$ 。正合偶通常以三角形表示。${\displaystyle C}$  对应到谱序列的 ${\displaystyle E_{0}}$  项，而 ${\displaystyle A}$  是一些辅助资料。

为了得到谱序列的后续项，以下将构造导出偶。令：

• ${\displaystyle d:=g\circ h}$ 
• ${\displaystyle A':=f(A)}$ 
• ${\displaystyle C':=\mathrm {Ker} (d)/\mathrm {Im} (d)}$ 
• ${\displaystyle f':=f|_{A'}}$ 
• ${\displaystyle h':C'\to A'}$  由 ${\displaystyle h}$  导出。
• ${\displaystyle g':A'\to C'}$  定义如下：若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  为某个环上的模范畴，对任一 ${\displaystyle a\in A'}$ ，存在 ${\displaystyle b\in A'}$  使得 ${\displaystyle a=f(b)}$ ，定义 ${\displaystyle g'(a)}$  为 ${\displaystyle g(b)}$  在 ${\displaystyle C'}$  中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理构造态射 ${\displaystyle g'}$ 。

现在可以验证 ${\displaystyle (A',C',f',g',h')}$  构成正合偶。${\displaystyle C'}$  对应到谱序列的 ${\displaystyle E_{1}}$  项。续行此法，可以得到一族正合偶 ${\displaystyle (A^{(n)},C^{(n)},f^{(n)},g^{(n)},h^{(n)})}$ 。相应的谱序列定义为 ${\displaystyle E_{n}:=C^{(n)}}$ ，${\displaystyle d_{n}:=g^{(n)}\circ h^{(n)}}$ 。

一个双分次谱序列含有大量要追踪的资讯，不过有个常见的图解法有助于阐明其结构。以下取上同调谱序列为例。在此有三个指标 ${\displaystyle r,p,q}$ 。对每个 ${\displaystyle r}$ ，设想有一张方格纸，分别让 ${\displaystyle p,q}$  对应于横、纵轴。每一个格子点 ${\displaystyle (p,q)}$  对应到对象 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ 。微分 ${\displaystyle d_{r}}$  的次数为 ${\displaystyle (r,-r+1)}$ ，方向如图所示。

在第一个简单的例子中，谱序列在 ${\displaystyle r\geq 1}$  后的微分映射皆为零，故不再改变。这时可定义该谱序列的极限为 ${\displaystyle E_{\infty }:=E_{r}\;(r\geq 1)}$ 。对于一般的谱序列，也往往存在一个极限，极限与各项的关系可说是谱序列的众妙之门。

定义：若谱序列 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$  对每个 ${\displaystyle (p,q)}$  都存在 ${\displaystyle r(p,q)\in \mathbb {N} }$ ，使得当 ${\displaystyle r\geq r(p,q)}$  时，${\displaystyle d_{r}^{p-r,q+r-1}:E_{r}^{p-r,q+r-1}\to E_{r}^{p,q}}$  及 ${\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}}$  皆为零，则称 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$  之极限项为 ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}:=E_{r}^{p,q}}$ （取充分大的 ${\displaystyle r}$ ）。最常见的例子是集中在第一象限的谱序列，此时极限项恒存在。

其中的指标 ${\displaystyle p}$  指涉过滤结构。

若存在对象 ${\displaystyle E^{\bullet }}$ 、过滤结构 ${\displaystyle \cdots \subset F^{p+1}E^{\bullet }\subset F^{p}E^{\bullet }\subset \cdots }$ ，及一族同构 ${\displaystyle \beta ^{p,q}:E_{\infty }^{p,q}\simeq \mathrm {gr} ^{p}E^{p+q}}$ ，满足 ${\displaystyle \bigcap _{p}F^{p}E^{\bullet }=(0),\bigcup _{p}F^{p}E^{\bullet }=E^{\bullet }}$ （这种过滤称为“正则过滤”），则称 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$  收敛到 ${\displaystyle E^{\bullet }}$ ，通常表为下述符号：

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}}$ 

习惯上，人们也常将左式写成 ${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$ ，因为谱序列中最重要的页往往是 ${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$ 。

最简单的收敛特例是退化：

定义：固定 ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ ，若对每个 ${\displaystyle s\geq r}$ ，微分映射 ${\displaystyle d_{s}}$  都是零，则称该谱序列在第 ${\displaystyle r}$  页退化。

退化性保证了 ${\displaystyle E_{r}\simeq E_{r+1}\simeq \cdots }$ ，此时 ${\displaystyle E_{r}}$  即其极限。如果一个双分次谱序列 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$  的非零项集中于某一条水平或垂直线上，则必在 ${\displaystyle r=2}$  时退化。

过滤结构导出的谱序列

最常见的谱序列之一来自带有过滤结构的对象，通常是链复形或上链复形。这是一个对象 ${\displaystyle C}$  及微分映射 ${\displaystyle d:C\to C}$  ，使之满足 ${\displaystyle d^{2}=0}$ ，以及

${\displaystyle C=F^{0}C\supset F^{1}C\supset \cdots F^{n}C\supset F^{n+1}C=0}$ 

${\displaystyle dF^{p}C\subset F^{p}C}$ 

同调群上也有相应的过滤

${\displaystyle F^{p}H(C,d):=\mathrm {Im} (H(F^{p}C,d)\to H(C,d)}$ 

对此，定义相应的分次对象

${\displaystyle \mathrm {gr} _{F}C:=\bigoplus _{p\geq 0}F^{p}C/F^{p+1}C}$ 

${\displaystyle \mathrm {gr} _{F}H(C):=\bigoplus _{p\geq 0}F^{p}H(C)/F^{p+1}H(C))}$ 

取微分映射为零，可视之为复形。

以下式定义谱序列：

${\displaystyle Z_{r}^{p}:={x\in F^{p}C:dx\in F^{p+r}C}}$ 

${\displaystyle E_{r}^{p}:=Z_{r}^{p}/(dZ_{r-1}^{p-r+1}+Z_{r-1}^{p+1})=Z_{r}^{p}/(Z_{r}^{p}\cap (dF^{p-r+1}C+F^{p+1}C))}$ 

此时有 ${\displaystyle E_{0}^{p}=F^{p}C/F^{p+1}C,E_{1}^{p}=H(\mathrm {gr} ^{p}C)}$ ，且谱序列收敛：

${\displaystyle E_{r}^{p}\Rightarrow E_{\infty }^{p}=\mathrm {gr} ^{p}H(C)}$ 

通常也写成 ${\displaystyle E_{r}\Rightarrow H(C)}$ 。

取 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  为取值在某个阿贝尔范畴中的上链复形范畴。此时的对象 ${\displaystyle C}$  是个上链复形 ${\displaystyle \cdots \to C^{q}\to C^{q+1}\to \cdots }$ ，${\displaystyle d}$  是上链复形的微分映射。上述谱序列带有三个指标 ${\displaystyle p,q,r}$ ，并可进一步化成下述形式：

${\displaystyle E_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$ 

${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(\mathrm {gr} ^{p}C^{\bullet })}$ 

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}=\mathrm {gr} ^{p}(H^{p+q}(C^{\bullet }))}$ 

双复形的谱序列

以下考虑取值在某个阿贝尔范畴中的双复形，即一组对象 ${\displaystyle C^{p,q}}$ ，及两组微分映射 ${\displaystyle d':C^{p,q}\to C^{p+1,q}}$  及 ${\displaystyle d'':C^{p,q}\to C^{p,q+1}}$ ，满足

${\displaystyle d'^{2}=d''^{2}=0}$ 

${\displaystyle d'd''+d''d'=0}$ 

对一个双复形，可定义其全复形 ${\displaystyle (C,D)}$ （也记为 ${\displaystyle T(C)}$  或 ${\displaystyle \mathrm {Tot} (C)}$ ） 为

${\displaystyle C^{n}:=\bigoplus _{p+q=n}C^{p,q}}$ 

${\displaystyle D:=d'+d''}$ 

${\displaystyle C}$  上有两组过滤，分别是：

${\displaystyle ('F^{p}C)^{n}:=\bigoplus _{i+j=n,\,i\geq p}C^{i,j}}$ 

${\displaystyle (''F^{q}C)^{n}:=\bigoplus _{i+j=n,\,j\geq q}C^{i,j}}$ 

它们给出两个谱序列 ${\displaystyle 'E_{r}}$  与 ${\displaystyle ''E_{r}}$ 。首先计算 ${\displaystyle 'E_{0},'E_{1},'E_{2}}$  项：

${\displaystyle 'E_{0}^{i,j}=C^{i,j}}$ 

${\displaystyle 'E_{1}^{i,j}=H_{d''}^{j}(C^{i,\bullet })}$ 

${\displaystyle 'E_{2}^{i,j}=H_{d'}^{i}(H_{d''}^{j}(C^{\bullet ,\bullet }))\qquad }$ （即：先取纵向上同调，再取横向上同调）

同理可计算 ${\displaystyle ''E_{0},''E_{1},''E_{2}}$ ：

${\displaystyle ''E_{0}^{i,j}=C^{j,i}}$ 

${\displaystyle ''E_{1}^{i,j}=H_{d'}^{j}(C^{\bullet ,i})}$ 

${\displaystyle ''E_{2}^{i,j}=H_{d''}^{i}(H_{d'}^{j}(C^{\bullet ,\bullet }))\qquad }$ （即：先取横向上同调，再取纵向上同调）。

这两个谱序列通常是不同的，但随着 ${\displaystyle r}$  增大，它们都收敛到 ${\displaystyle H(C)}$ ，由此可以得到一些有趣的比较定理。

Tor函子的交换性

利用谱序列，可以迅速导出Tor函子的交换性，即一自然同构：

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}(M,N)=\mathrm {Tor} _{i}(N,M)}$ 

取定平坦分解 ${\displaystyle P_{\bullet }\to M\to 0}$  及 ${\displaystyle Q_{\bullet }\to N\to 0}$ 。视之为集中于正项的复形，其微分映射分别记为 ${\displaystyle d,e}$ 。考虑双复形 ${\displaystyle C_{i,j}:=P_{i}\otimes Q_{j}}$ ，其微分映射定义为 ${\displaystyle d_{i,j}:=d_{i}\otimes \mathrm {id} +(-1)^{j}\mathrm {id} \otimes e_{j}}$ （以使微分映射满足反交换性）。取其谱序列，遂得到：

${\displaystyle 'E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{II}(Q_{\bullet }))}$ 

${\displaystyle ''E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{q}^{II}(Q_{\bullet }\otimes H_{p}^{I}(P_{\bullet }))}$ 

由于复形 ${\displaystyle P_{\bullet },Q_{\bullet }}$  是平坦分解，其同调群只集中在零次项，此时其表示式为：

${\displaystyle H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes N)={\mbox{Tor}}_{p}(M,N)}$ 

${\displaystyle H_{q}^{II}(Q_{\bullet }\otimes M)={\mbox{Tor}}_{q}(N,M)}$ 

故 ${\displaystyle 'E_{p,q}^{2}}$  只在 ${\displaystyle p=0}$  上有非零项，而 ${\displaystyle ''E_{p,q}^{2}}$  只在 ${\displaystyle q=0}$  上有非零项，这保证了谱序列在第二页退化，由此导出同构：

${\displaystyle {\mbox{Tor}}_{p}(M,N)\cong E_{p,q}^{\infty }={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$ 

${\displaystyle {\mbox{Tor}}_{q}(N,M)\cong E_{p,q}^{\infty }={\mbox{gr}}_{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$ 

当 ${\displaystyle p=q}$  时，上述等式的右项同构（虽然其分次结构不同），由此得到 Tor 的交换性。

示性数

运用谱序列时，通常会假设某些项为零，或假设谱序列在第一或第二页退化。但有时尽管对各项及微分映射一无所知，仍可从谱序列中萃取资讯，最简单的例子是示性数：固定一个阿贝尔范畴 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  及一个交换群 ${\displaystyle C}$ ，所谓示性数是一个函数 ${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} {\mathcal {A}}\to C}$ ，满足：

• ${\displaystyle \forall 0\to Y\to X,\;\chi (X)=\chi (Y)+\chi (X/Y)}$ 
• ${\displaystyle X\simeq Y\Rightarrow \chi (X)=\chi (Y)}$ 

例如：取 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  为某个域 ${\displaystyle k}$  上的有限维向量空间范畴，则 ${\displaystyle \chi :V\mapsto \dim _{k}V}$  是一个示性数。

对任一 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  上的有限复形 ${\displaystyle K^{\bullet }}$ ，定义

${\displaystyle \chi (K^{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\chi (K^{i})}$ 

容易证明 ${\displaystyle \chi (K^{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\chi (H^{i}(K^{\bullet }))}$ 。考虑任一在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  上的收敛谱序列 ${\displaystyle (E_{r}^{\bullet })}$ ，由于谱序列的每一页都是前一页的同调，遂得到

${\displaystyle \chi (E_{r}^{\bullet })=\chi (E_{r+1}^{\bullet })=\cdots =\chi (E_{\infty }^{\bullet })}$ 

然而

${\displaystyle \chi (E^{n})=\sum _{p}\chi (F^{p}E^{n}/F^{p+1}E^{n})=\sum _{p}\chi (E_{\infty }^{p,n-p})}$ 

于是得到

${\displaystyle \forall r,\;\sum _{n}(-1)^{n}\chi (E^{n})=\chi (E_{r}^{\bullet })}$ 

历史文献

• Leray, Jean. L'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1366––1368. 
• Leray, Jean. Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1419––1422. 
• Koszul, Jean-Louis. Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau. C. R. Acad. Sci. Paris. 1947, 225: 217––219. 
• Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. I, II. Ann. of Math. (2nd series). 1952, 56: 363––396. 
• Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. III, IV, V. Ann. of Math. (2nd series). 1953, 57: 248––286. 

当代文献

• S.N. Malygin, Spectral Sequence, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• McCleary, John. A User's Guide to Spectral Sequences 2nd Edition. Cambridge University Press. February 2001: 560 pp. doi:10.2277/0521567599.   引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Mosher, Robert; Martin Tangora. Cohomology Operations and Applications in Homotopy Theory. Harper and Row. 1968.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
• Hatcher, Allen. Spectral Sequences in Algebraic Topology (PDF). [2007-08-17]. （原始内容存档于2014-02-05）. 
• Chow, Timothy Y. You Could Have Invented Spectral Sequences (PDF). Notices of the American Mathematical Society. January 2006, 53: 15––19 [2007-08-17]. （原始内容存档 (PDF)于2006-10-06）.