李代数上同调

令G为一个紧李群，则其被对应的李代数完全确定，因此由李代数来确定李群上同调应为可能的。我们使用如下的构造。注意到李群的上同调是G上的微分形式构成的复形对应的德拉姆上同调，而这个复形可以被替换为等变微分形式的复形，而后者则可以被看作带有一个合适的微分算子的李代数的外代数。这一微分算子的构造对于任何李代数都成立，因此被用于定义所有李代数的李代数上同调。更加一般化地，我们可以用类似的构造来定义模系数的李代数上同调。

令${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 是一个交换环R上的一个李代数，其泛包络代数为${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ ；令M为${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 的一个表示（或者，等效地，${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ 的一个模）。将R考虑为${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 的一个平凡表示，则可以构造上同调群

${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)}$ 

（参见Ext函子）。等效地，我们可以将其看作下面这个左正合不变子模函子的右导出函子：

${\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid gm=0\ {\text{ for all }}g\in {\mathfrak {g}}\}.}$ 

类似地，可以定义李代数同调群为

${\displaystyle \mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$ 

（参见Tor函子）。我们也可以将其看作下面这个右正合协不变函子的左导出函子：

${\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.}$ 

李代数上同调的重要基本结果包括：怀特海德引理（英语：Whitehead's_lemma_(Lie_algebras)），外尔定理（英语：Weyl's_theorem_on_complete_reducibility）和莱维分解定理（英语：Levi_decomposition）。

第零上同调群，由定义，是李代数在模上作用的不变量：

${\displaystyle H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid gm=0\ {\text{ for all }}g\in {\mathfrak {g}}\}.}$ 

第一上同调群，是所有导子的空间模去内导子空间：

${\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}};M)=Der({\mathfrak {g}},M)/Ider({\mathfrak {g}},M)}$ 

其中导子指一个从李代数到M的映射d使得

${\displaystyle d[x,y]=xdy-ydx~}$ 

若有M内的元素a使得

${\displaystyle dx=xa~}$ 

则称其为内导子。

第二上同调群

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};M)}$ 

是由M对李代数的李代数扩张的等价类的空间

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$ 

对于更高维的上同调群，似乎没有简单的诠释存在。

• 理论物理学中的BRST量子化。

• Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel, Cohomology Theory of Lie Groups and Lie Algebras, Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society), 1948, 63 (1): 85–124, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990637, MR 0024908, doi:10.2307/1990637 
• Hilton, P. J.; Stammbach, U., A course in homological algebra, Graduate Texts in Mathematics 4 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-94823-2, MR 1438546 
• Knapp, Anthony W., Lie groups, Lie algebras, and cohomology, Mathematical Notes 34, Princeton University Press, 1988, ISBN 978-0-691-08498-5, MR 0938524