正规态射

设${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 为一个有有限射影极限与归纳极限的范畴。设${\displaystyle f:X\to Y}$ 为态射。设${\displaystyle p_{1},p_{2}:\;X\times _{Y}X\to X}$ 为积的投影，而${\displaystyle i_{1},i_{2}:\;Y\to Y\sqcup _{X}Y}$ 为上积的内射。定义：

• 上像：${\displaystyle \mathrm {Coim} (f):=\mathrm {Coker} (p_{1},p_{2})}$ 
• 像：${\displaystyle \mathrm {Im} (f):=\mathrm {Ker} (i_{1},i_{2})}$ 

根据极限性质，自然态射${\displaystyle X\to \mathrm {Coim} (f)}$ 是满射，而${\displaystyle \mathrm {Im} (f)\to Y}$ 则是单射。此外还存在唯一一个态射${\displaystyle u:\;\mathrm {Coim} (f)\to \mathrm {Im} (f)}$ ，使得合成态射

${\displaystyle X\longrightarrow \mathrm {Coim} (f){\stackrel {u}{\longrightarrow }}\mathrm {Im} (f)\longrightarrow Y}$ 

正好是${\displaystyle f}$ 。

若${\displaystyle u}$ 为同构，则称${\displaystyle f}$ 为正规态射；正规态射可以写成满射与单射的合成。所有态射皆为正规态射的范畴称为正规范畴。

• 以下三个条件等价：
  • ${\displaystyle f}$ 为严格满射
  • ${\displaystyle \mathrm {Coim} (f)\to Y}$ 为同构
  • 序列${\displaystyle X\times _{Y}X\Rightarrow X\rightarrow Y}$ 正合
• 如果${\displaystyle f}$ 同时是严格满射与严格单射，则${\displaystyle f}$ 为同构。
• ${\displaystyle X\to \mathrm {Coim} (f)}$ 恒为严格满射。

正规态射的重要特性在于它分解为满射与单射，此分解在阿贝尔范畴中扮演关键角色。

对于集合范畴、群范畴以及一个环上的模范畴，严格性并不成问题。一旦引入额外结构，状况将大大地复杂化：例如取${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 为拓扑向量空间范畴，${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中存在所有有限的积与上积。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的态射${\displaystyle f:X\to Y}$ 即连续线性映射，其像${\displaystyle \mathrm {Im} (f)}$ 是空间${\displaystyle f(X)}$ 配与${\displaystyle Y}$ 的子空间拓扑，上像${\displaystyle \mathrm {Coim} (f)}$ 则是${\displaystyle f(X)}$ 配与${\displaystyle f:X\to f(X)}$ 的商拓扑；后者一般较前者为细。

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. 编辑
  • Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira