体积形式

流形M上一个体积形式是处处非0的最高阶（n-维流形上的n-形式）微分形式。

用线丛的语言来说，称最高阶外积${\displaystyle \Omega ^{n}(M)=\Lambda ^{n}(T^{*}M)}$ 为行列式线丛，n-形式是它的截面。

对不可定向流形，一个体积“伪”形式，也称为“奇”或“扭曲”的体积形式，可以定义为定向丛的一个处处非0截面；这个定义同样适用于定向流形。在这种看法下，（非扭曲的）微分形式就是“偶” n-形式。除非特别地讨论扭曲形式时，我们总是略去形容词“偶”。

第一次明确地引入扭曲微分形式是德拉姆。

一个流形具有体积形式当且仅当它可定向，这也可以作为可定向的一个定义。

在G-结构的语言中，一个体积形式是一个SL-结构。因为${\displaystyle {\mbox{SL}}\to {\mbox{GL}}^{+}}$ 是形变收缩（因为${\displaystyle {\mbox{GL}}^{+}={\mbox{SL}}\times \mathbf {R} ^{+}}$ ，这里正实数视为纯量矩阵），一个流形具有一个SL-结构当且仅当具有一个${\displaystyle {\mbox{GL}}^{+}}$ -结构，即是一个定向。

在线丛的语言中，行列式丛${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$ 的平凡性等价于可定向性，而一个线丛是平凡的当且仅当它有一个处处非0的截面，这样又得到，体积形式的存在性等价于可定向性。

对于伪体积形式，一个伪体积形式是一个${\displaystyle {\mbox{SL}}^{\pm }}$ -结构，因为${\displaystyle {\mbox{SL}}^{\pm }\to {\mbox{GL}}}$  同伦等价（事实上是形变收缩），任何流形都有伪体积形式。类似地，定向丛总是平凡的，所以任何流形都有一个伪体积形式。

任何流形有一个伪体积形式，因为定向丛（作为线丛）是平凡的。给定一个定向流形上的体积形式ω，密度 |ω| 是忘掉定向结构的非定向流形的一个伪体积形式。

任何伪体积形式ω（从而任何体积形式亦然）定义了一个波莱尔集合上一个测度：

${\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .\,\!}$ 

注意区别，在于任何一个测度可以在（Borel）子集上积分，而一个体积形式只能在一个“定向”胞腔上积分。在单变量微积分中，写成${\displaystyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}$ ，将${\displaystyle dx}$ 视为体积形式而不是测度，${\displaystyle \int _{b}^{a}}$ 表明“在${\displaystyle [a,b]}$ 上沿着定向相反的反向积分”，有时记成${\displaystyle {\overline {[a,b]}}}$ 。

进一步，一般的测度不必连续或光滑，他们不必由体积形式定义；或更形式地说，关于一个体积形式的Radon-Nikodym导数不必绝对连续。

李群

任何李群，可以由平移定义一个自然的体积形式。这就是说，如果ω_e 是${\displaystyle \bigwedge ^{n}T_{e}^{*}G}$ 中一个元素，那么一个左不变形式可以定义为${\displaystyle \omega _{g}=L_{g}^{*}\omega _{e}}$ ，这里L_g为左平移。作为一个推论，任何李群都是可定向的。这个体积形式在相差一个常数的意义下是惟一的，相应的测度称为哈尔测度。

辛流形

任何辛流形（或更确切地为殆辛流形）有一个自然的体积形式。如果M是一个带有辛形式ω的2n-维流形，那么由辛形式非退化可知ωⁿ处处非零。作为一个推论，任何辛流形是可定向的（事实上，已经定向）。

黎曼体积形式

任何黎曼流形（或伪黎曼流形）有一个自然的体积（或伪体积）形式。在局部坐标系下，能写成表达式：

${\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}}$ 

这里流形为n-维，${\displaystyle |g|}$ 是流形上度量张量行列式的绝对值，${\displaystyle dx^{i}}$ 为组成流形余切丛一组基的1形式。

这个体积形式有许多不同的记号，包括：

${\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\epsilon =*(1).\,\!}$ 

这里∗是霍奇对偶，从而最后一个形式∗(1)强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。

尽管希腊字母ω经常用于表示体积形式，但是这个记法很难通用，符号ω在微分几何中经常有其它意思（比如辛形式），所以一个公式中的ω不一定就表示体积形式。

一个流形如果既是辛的又是黎曼的，如果流形是凯勒的那种方式定义的体积形式相等。

曲面的体积形式

体积形式一个简单的例子可以考虑嵌入n-维欧几里得空间中的2-维曲面。考虑子集${\displaystyle U\subset \mathbf {R} ^{2}}$ ，以及映射函数

${\displaystyle \phi :U\to \mathbf {R} ^{n}}$ 

定义了嵌入到${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ 中的一个曲面。映射的雅可比矩阵为

${\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial \phi _{i}}{\partial u_{j}}}}$ 

指标i从1跑到n，j从1跑到2。n-维空间的欧几里得度量诱导了集合U上的一个度量，度量矩阵分量为：

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial u_{j}}}}$ 

度量的行列式由

${\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \phi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \phi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )}$ 

给出，这里${\displaystyle \wedge }$ 是楔积。对一个正则曲面，这个行列式不为0；等价地，雅可比矩阵的秩为2。

现在考虑U的一个坐标变换，由微分同胚

${\displaystyle f\colon U\to U,\,\!}$ 

给出。从而坐标${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$ 用${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ 形式表示是${\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}$ 。坐标变换的雅可比矩阵为：

${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}}$ 

在新坐标系下，我们有：

${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}$ 

从而度量变换为：

${\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}$ 

这里 ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ 是在v坐标系下的度量。行列式：

${\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g(\det F)^{2}}$ .

给出以上构造后，现在可以直接理解为什么体积在坐标变换下不变的。在2维，体积就是面积。子集${\displaystyle B\subset U}$ 的面积由积分：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;du_{1}du_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\det F\;dv_{1}dv_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;dv_{1}dv_{2}\end{aligned}}}$ 

给出。从而，在任一坐标系下，体积都有相同的表达式，即这个表达式在坐标变换下是不变的。

注意到在以上表达式中2维并没有任何特殊性，以上结论可以平凡地推广到任意维数。

体积形式不是惟一的，它们以如下方式组成了流形上非0函数上的一个旋子。这是Radon–Nikodym定理的一个几何形式。

给定M上一个处处函数f，和一个体积形式${\displaystyle \omega }$ ，${\displaystyle f\omega }$ 也是M上的体积形式。相反地，给定任何两个体积形式${\displaystyle \omega ,\omega '}$ ，他们的比是一个处处非0函数（如果定向相同为正，定向相反为负）。

在坐标系中，他们都不过是一个处处非0函数乘以勒贝格测度，他们的比就是函数的比，这和坐标系的选取无关。本质上，这是${\displaystyle \omega '}$ 关于${\displaystyle \omega }$ 的Radon–Nikodym导数。

无局部结构

一个体积形式没有局部结构：任何两个体积形式（在相同维数的流形上）是局部同构的。

正式地说，这个结论意味着给定任何两个同维数的流形${\displaystyle M,N}$ ，分别具有体积形式${\displaystyle \omega _{M},\omega _{N}}$ ，对任何点${\displaystyle m\in M,n\in N}$ ，存在一个映射${\displaystyle f\colon U\to V}$ （这里${\displaystyle U}$ 是${\displaystyle m}$ 的一个邻域而${\displaystyle V}$ 是${\displaystyle n}$ 的一个邻域），使得N（限制在邻域${\displaystyle V}$ 上）上的体积形式拉回到${\displaystyle M}$ （限制在邻域${\displaystyle U}$ ）上的体积形式：${\displaystyle f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}}$ 。给定维数的可微流形是局部微分同胚的；增添的判断标准是体积形式拉回到体积形式。

在1维情形，可以这样证明：给定${\displaystyle \mathbf {R} }$ 上一个体积形式${\displaystyle \omega }$ ，定义

${\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega }$ 

那么标准勒贝格测度${\displaystyle dx}$ 通过f: ${\displaystyle \omega =f^{*}dx}$ 拉回到${\displaystyle \omega }$ ，实际上，${\displaystyle \omega =f\,dx}$ 。

高维数时，给定任何一点${\displaystyle m\in M}$ ，存在一个邻域局部同胚于${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n-1}}$ ，我们可以进行相同的步骤。

整体机构：体积

连通流形M上一个体积形式有一个惟一的整体不变量，即总体积（记作${\displaystyle \mu (M)}$ ），在保持体积形式的映射下不变；总体积可能是无穷，比如${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ 上的勒贝格测度。对于一个不连通流形，任何连通分支的体积是不变量。

用符号表示，如果${\displaystyle f\colon M\to N}$ 是流形的同胚，将${\displaystyle \omega _{N}}$ 拉回到${\displaystyle \omega _{M}}$ ，那么

${\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)}$ 

从而流形具有相同的体积。

体积形式也能在覆盖映射下拉回，在此情况下将体积乘以纤维的基数（形式地说，在纤维上积分）。在无穷重复盖（比如${\displaystyle \mathbf {R} \to S^{1}}$ ），有限体积流形上的体积形式拉回到一个无穷体积流形上的体积形式。

反过来，于尔根·莫泽^[1]的一个定理指出，对于连通紧流形上两个体积相等的体积形式${\displaystyle \omega _{1}}$ 和${\displaystyle \omega _{2}}$ ，存在一个流形的微分自同胚将${\displaystyle \omega _{1}}$ 拉回到${\displaystyle \omega _{2}}$ ，事实上存在由的流形成同痕。

• 庞加莱度量给出了复平面上一个新的体积形式；
• 测度。

1. ^ 存档副本 (PDF). [2008-10-26]. （原始内容存档 (PDF)于2008-05-09）. 

• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, (1965) W.A. Benjamin, Inc. Reading, Massachusetts ISBN 0-8053-9021-9（提供了一个微分几何的现代理念的初等介绍，只需要一般的微积分背景。）