五级运算

关于五级运算的符号几乎没有达成共识，因此，有许多不同的方法来表记。但是，有些符号的使用较其他符号更广泛，有些符号具有明显的优缺点。

• 五级运算可以超运算符号表示，如${\displaystyle a[5]b}$ 。在这种表记方法中，${\displaystyle a[3]b}$ ，即幂运算，可以解释为函数${\displaystyle x\mapsto a[2]x}$ 从1开始迭代${\displaystyle b}$ 次的结果；类似地，迭代幂次${\displaystyle a[4]b}$ 表示函数${\displaystyle x\mapsto a[3]x}$ 从1开始迭代b次的结果；五级运算${\displaystyle a[5]b}$ 表示函数${\displaystyle x\mapsto a[4]x}$ 从1开始迭代b次的结果。^[2][3]这也是本文大部分所使用的符号。

• 在高德纳箭号表示法中，${\displaystyle a[5]b}$ 表示为${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$ 或${\displaystyle a\uparrow ^{3}b}$ 。在这个记法中，${\displaystyle a\uparrow b}$ 表示幂运算，而${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$ 代表迭代幂次。通过继续添加箭头，该记法可以轻松地表记更高级的超运算。

• 在康威链式箭号表示法中，${\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}$ 。^[4]

• 另一个建议的符号是${\displaystyle {_{b}a}}$ ，尽管这不能扩展到更高级的超运算。^[5]

五级运算的值也可以从阿克曼函数的变量值表的第四行中的值中获得：如果${\displaystyle A(n,m)}$ 由阿克曼递归关系${\displaystyle A(m-1,A(m,n-1))}$ 与初始条件${\displaystyle A(1,n)=an}$ 和${\displaystyle A(m,1)=a}$ 定义，那么${\displaystyle a[5]b=A(4,b)}$ 。^[6]

五级运算是迭代幂次的迭代，而其基本运算（迭代幂次）尚未扩展到非整数高度，所以五级运算${\displaystyle a[5]b}$ 当前亦仅对整数a和b有定义，其中a>0且b≥-1，以及一些其他可能有唯一定义的整数值。与所有三级（幂）及更高级的超运算一样，五级运算具有以下适用于所有定义域内a和b的值的基本恒等式：

• ${\displaystyle 1[5]b=1}$ 
• ${\displaystyle a[5]1=a}$ 

此外，我们还可以定义：

• ${\displaystyle a[5]0=1}$ 
• ${\displaystyle a[5](-1)=0}$ 

五级运算生成大数的速度非常快，因此只有极少数非平凡的情况可以得出可以用常规符号表记的数，如下表所记，其中${\displaystyle \exp _{10}(n)=10^{n}}$ 。

${\displaystyle x}$	${\displaystyle x[5]2}$	${\displaystyle x[5]3}$	${\displaystyle x[5]4}$
1	1	1	1
2	4	65,536	${\displaystyle \exp _{10}^{65533}(4.29508)}$
3	7,625,597,484,987	${\displaystyle \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}$
4	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(2.19)}$  （超过10153位）
5	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(3.33928)}$ （超过10102184.1257220888位）

• 阿克曼函数
• 大数
• 葛立恒数
• 大数的历史（英语：History of large numbers）