五复合立方体

几何学中,五复合立方体,是一种由五个立方体组合成的复合多面体,其索引编号为UC9,是唯一五种正复合体之一[3],亦是一种星形多面体埃德蒙·赫斯在1876年首先描述了该几何结构。

五复合立方体
五复合立方体
五复合立方体,每个立方体以不同颜色表示
类别复合正多面体
对偶多面体五复合正八面体
识别
名称五复合立方体
参考索引UC5
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
2{5,3}[5{4,3}][2]
性质
5
30
60
顶点20
欧拉特征数F=30, E=60, V=20 (χ=-10)
组成与布局
复合几何体数量5
复合几何体种类5个立方体
面的种类30个正方形
对称性
对称群二十面体群 (Ih)
图像
星状图英语Stellation_diagram 星状英语Stellation 凸包
Second compound stellation of icosahedron facets.png Icosahedron.png Dodecahedron.png
正二十面体 正十二面体

五复合立方体的对偶多面体五复合正八面体

构造

拥有二十面体对称五复合立方体可以由以原点为中心、面向轴的第一个立方体开始构造,其余的立方体则透过轴 旋转 弧度来构造,毕依这加入顺序决定角度值中的n,例如第二个立方体n=1、第三个立方体n=2以此类推。

性质

五复合立方体为五个立方体组合成的形状,因此其边、面和顶点的数量基本上应该会是立方体的5倍,但因为部分顶点是重合的,因此其仅有30个面、60条边和20个顶点。

五复合立方体中可以找到菱形三十面体中的30个菱形[4][5]

结构

五复合立方体可以视为正十二面体刻面英语faceting后的多面体,在正十二面体凸包中每个立方体定位在12个顶点中的其中8个顶点。

 
 

顶点坐标

由于五复合立方体可以看作是在正十二面体中嵌入立方体,因此其顶点坐标与正十二面体相同:

(±1, ±1, ±1)
(0, ±1/ϕ, ±ϕ)
1/ϕ, ±ϕ, 0)
ϕ, 0, ±1/ϕ)

其中ϕ = 1 + 5/2黄金比例

作为星形多面体

五复合立方体可以看作是一种菱形三十面体的星形多面体[6][7]

星状图英语Stellation diagram 星形 星状核 凸包
     
菱形三十面体
 
正十二面体

棱排布

五复合立方体的凸包是正十二面体。其与一些凸包也是正十二面体的多面体有着相同的棱排布,例如小双三斜三十二面体、大双三斜三十二面体和双三斜十二面体。

a{5,3} a{5/2,3} b{5,5/2}
     =            =            
 
小双三斜三十二面体
 
大双三斜三十二面体
 
双三斜十二面体
 
正十二面体 (凸包)
 
五复合立方体
 
球面的五复合立方体

其他的五个立方体复合图形

亦有其他也由五个立方体组合成的形状,例如佛达里也斯的五复合立方体。这种形状是一个八面体对称的星形多面体 

参考文献

  1. Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge, 1997 . p 360
  2. Harman, Michael G., Polyhedral Compounds, unpublished manuscript, c. 1974 [2016-09-01], (原始内容存档于2013-07-31) .
  3. Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79: 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440 .
  4. Cundy, H. and Rollett, A. "Five Cubes in a Dodecahedron." §3.10.6 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 135–136, 1989.
  1. ^ 1.0 1.1 H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, Weisstein, Eric W. (编). Compound of Five Cubes. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, pp. 161 and 185, 2002.

外部链接