有限群表示论

此条目中的所有线性变换都是有限维的，且除了有另外提起外，基域都假定为复数域。G的表示是一个群同构 ρ:G → GL(n,C)，由 G 至一般线性群 GL(n,C) 的映射。因此，要选定一个表示，则只要将群内的每个元素配定一个方阵，其中方阵的相乘和群元素间的运算会是一样的。

若矩阵是实数的，则称 ρ 是 G 的一个实表示。换句话说， ${\displaystyle \rho (G)\subset GL(n,\mathbb {R} ).}$ 

线性表示

令${\displaystyle V}$ 是一个在体${\displaystyle K}$ 上的向量空间同时${\displaystyle G}$ 是一个有限群。一个关于群${\displaystyle G}$ 的线性表示是一个群同态${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)={\text{Aut}}(V).}$ 这里的${\displaystyle {\text{GL}}(V)}$ 是指一般线性群而${\displaystyle {\text{Aut}}(V)}$ 指的是自同构群。而向量空间${\displaystyle V}$ 则被称作是群${\displaystyle G}$ 的表示空间。我们会将向量空间${\displaystyle V}$ 的维度定义成一个线性表示的次数（英语：degree）。

置换表示

表示 ρ: G → GL(n,C) 定义了 G 在向量空间 Cⁿ 上的群作用，而且此一作用也可以完全决定 ρ 。因此，要选定一个表示，选定在表示的向量空间上的作用即已足够。

换言之，群 G 在复向量空间 V 上的作用可以推导出群代数 C[G] 在向量空间 V 上的左作用，反之亦然。因此，表示会等价于左 C[G]-模。

群代数 C[G]是一个在复数上，以 G 作用的 |G| 维代数。（参见彼德-外尔定理中紧致群的例子。）而实际上， C[G]是 G×G 的一个表示。更具体地来说，若 g₁ 跟 g₂ 是 G 的元素，且 h 是 C[G] 中相对应至 G 的 h 的一个元素，则

(g₁,g₂)[h]=g₁ h g₂^-1。

C[G] 也可以以三种方式来做为 G 的表示：

• 共轭： g[h] = g h g^-1
• 左作用： g[h] = g h（正则表示）
• 右作用： g[h] = h g^-1（同上）

这些都可以在 G×G 作用中被“找到”。

对许多的群而言，用矩阵来表示完全是一件很自然的事情。例如，一个二面体群 D₄——正方形的对称，即可以两个镜射矩阵的表示来产生：

${\displaystyle m={\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle n={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$ 

这里， m 是由 (x,y) 映射至 (− x,y) 的镜射，而 n 则是由 (x,y) 映射至 (y,x) 的镜射。这些矩阵的相乘一共可以产生构成此群的八个矩阵。如上所述，可以以矩阵来表示，或者也可以以在二维向量空间 (x,y) 上的作用来表示。

此一表示是“真实的”－亦即，在矩阵和群的元素之间是一对一对应的，因为不存在在群作用下不变的 (x,y) 的子空间。

• 实表示
• 对称群表示理论Representation theory of the symmetric group
• 舒尔正交关系
• 德林-勒斯泰格理论

• Fulton, William; and Harris, Joe. Representation Theory: A First Course. New York: Springer. 1991.   The standard graduate level reference for representations of groups in general.

• James, Gordon; and Liebeck, Martin. Representations and Characters of Finite Groups. Cambridge: Cambridge University Press. 1993. ISBN 978-0-521-44590-0.  A beautiful and readable introduction; designed for self study.

• Jean-Pierre, Serre. Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90190-9.  A very well-written introduction to stated topic: concise and extremely readable.