模的支撑

• ${\displaystyle M=0}$  当且仅当它的支撑是空集。

• 令 ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$  是一个 ${\displaystyle A}$  模正合序列. 那么

  ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=\operatorname {Supp} (M')\cup \operatorname {Supp} (M'').}$ 

注意这里的并集不一定是不相交的.

• 如果 ${\displaystyle M}$  是子模 ${\displaystyle M_{\lambda }}$  的和, 那么

${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} (M_{\lambda }).}$ 

• 如果 ${\displaystyle M}$  是一个有限生成 ${\displaystyle A}$  模，那么 ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}$  是的所有的包含 ${\displaystyle M}$  的消灭元所构成的素理想的集合. 特别的, 它在 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$  的 Zariski拓扑结构 中是闭的.

• 如果 ${\displaystyle M,N}$  都是有限生成 ${\displaystyle A}$ -模，那么

  ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatorname {Supp} (M)\cap \operatorname {Supp} (N).}$ 

• 如果 ${\displaystyle M}$  是一个有限生成模并且 ${\displaystyle I}$  是 ${\displaystyle A}$  的理想，那么 ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M/IM)}$  是包含 ${\displaystyle I+\operatorname {Ann} (M).}$  素理想的集合. 这也就是

${\displaystyle V(I)\cap \operatorname {Supp} (M)}$ .

如果 ${\displaystyle F}$  是概形 X上的一个 准凝聚层, 层${\displaystyle F}$ 的支撑是点集 x∈X 使得 stalk ${\displaystyle F}$ _x 非零. 这个定义与空间 X上的 函数的支撑是一致的, 这就是我们使用"支撑"这个词的动机. 模上层的支撑的大部分性质都可以一字一句地推广到准凝聚层上来. 例如, 凝聚层 (更一般地, 一个有限型的层) 是空间 X的闭集. ^[2]

如果 ${\displaystyle M}$  是一个 ${\displaystyle A}$ -模, 那么 ${\displaystyle M}$  作为模的支撑等价于 ${\displaystyle M}$  诱导的仿射概形 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$  上的准凝聚层 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$  的支撑. 另外, 如果 ${\displaystyle \{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (A_{\alpha })\}}$  是概形 ${\displaystyle X}$  的一个仿射覆盖, 那么 ${\displaystyle F}$  作为层的支撑等价于每个 ${\displaystyle A_{\alpha }}$ -模 ${\displaystyle M_{\alpha }}$  作为模的支撑的并集^[3].

由正合序列 ${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0}$  对于一个在光滑射影簇 ${\displaystyle X}$  中的除子 D, 如果我们令开集 ${\displaystyle U=X-D}$  则有 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)(U)\cong {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ , 这可以由线丛的定义得到, 并且注意到这里 ${\displaystyle U\cap D=\varnothing }$ .

由前面已知, 一个素理想 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  在模 ${\displaystyle M}$  的支撑里, 当且仅当它包含 ${\displaystyle M}$  的消灭元^[4]. 来看一个例子

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}\in {\text{Mod}}(\mathbb {C} [x,y,z,w])}$ 

作为模的消灭元是理想 ${\displaystyle (x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}$ . 这意味着 ${\displaystyle {\text{Supp}}(M)\cong \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y,z,w]/(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}))}$  也就是说它的支撑是多项式 ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}}$  的零点.

现在来看短正合序列 ${\displaystyle 0\to I\to R\to R/I\to 0}$  我们可以认为理想 ${\displaystyle (x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}$  的支撑等价于 ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y,z,w]_{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})})}$  也就是多项式零点的补集.

在specialization^{[来源请求]}意义下, 模的支撑总是闭的.

现在, 如果我们在一个整环里取两个多项式${\displaystyle f_{1},f_{2}\in R}$ , 使得理想 ${\displaystyle (f_{1},f_{2})}$  是完全交, 那么张量积的性质告诉我们 ${\displaystyle {\text{Supp}}\left({\frac {R}{(f_{1})}}\otimes _{R}{\frac {R}{(f_{2})}}\right)={\text{Supp}}\left({\frac {R}{(f_{1})}}\right)\cap {\text{Supp}}\left({\frac {R}{(f_{2})}}\right)\cong {\text{Spec}}(R/(f_{1},f_{2}))}$ 

• Associated prime
• Support (mathematics)